Question

Цепной корень из 2 sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2............+sqrt(2+x)))))))))))))) дано x всего радикалов n упростить выражение особенно интересен пример для |x|<2

Answer 1

 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}}}}}\\\\ 1)\\ x=[-2;2]\\ 2+x=2(1+t)\\ t=cosa\\ \sqrt{2+x}=\sqrt{2(1+cosa)}=\sqrt{\frac{4(1+cosa)}{2}}=2*cos\frac{a}{2}\\ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2++2cos\frac{a}{2}}}}}}}=\\ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...+\sqrt{2(1+cos\frac{a}{2})}}}}}=$
 Очевидно что это тоже косинус половинного угла  от половинного после замены 
 $\frac{a}{2}=t\\ \sqrt{2(1+cos\frac{a}{2})}=2cos\frac{a}{4}$ итд далее 
        теперь  легко заметить что сама сумма 
    $2+x=2(1+cosa)\\ 1+\frac{x}{2}=1+cosa\\ cosa=\frac{x}{2}\\ a=arccos\frac{x}{2}$ 
откуда сама сумма 
 $cos\frac{arccos\frac{x}{2}}{2^n}$
 для второго случая уже чуть по другому но уже не имеет смысла писать