Question

Пожалуйста!!!вычислить приближенно определенный интеграл по формулам а) прямоугольниковб)трапециив)Симпсонас действиями пожалуйста.n=15

Answer 1

Метод левых прямоугольников.
$\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$
Найдем шаг разбиения отрезка.
$h= \dfrac{b-a}{n}$ где n - разбиение отрезка на n частей
$h= \dfrac{5-0}{15}= \dfrac{1}{3}$
$f(0)=0;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\bigg( \dfrac{8}{3}\bigg)= \dfrac{80}{3} \\ f\bigg(\dfrac{1}{3} \bigg)=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\big(3)=33\\ f\bigg(\dfrac{2}{3} \bigg)=\dfrac{8}{3} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\bigg(\dfrac{10}{3}\bigg)=40\\f\big(1)=5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\bigg(\dfrac{13}{3}\bigg)=65\\ f\bigg(\dfrac{4}{3} \bigg)=8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\bigg(\dfrac{14}{3}\bigg)=\dfrac{224}{3}\\ f\bigg(\dfrac{5}{3}\bigg)=\dfrac{35}{3} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\bigg(\dfrac{11}{3}\bigg)=\dfrac{143}{3}\\ f\big(2)=16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\big(4\big)=56\\f\bigg(\dfrac{7}{3} \bigg)=21\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, f(5)=85$
При использовании этого метода высоты прямоугольников равны значениям функции в левых концах промежуточных отрезков.
Недостающее значение: $f(5)=85$
Тогда площадь левых прямоугольников можно вычислить следующим образом:
$\displaystyle \int\limits^5_0 {\big(3x^2+2x\big)} \, dx \approx h\cdot\bigg(f(0)+...+f( \frac{14}{3} )\bigg)= \\ \\ \\ =\frac{1}{3} \cdot\bigg(1+ \frac{8}{3} +5+8+\frac{35}{3}+16+21+\frac{80}{3}+33+40+\frac{143}{3}+56+65+\\ \\ +\frac{224}{3}\bigg)= \frac{1225}{9} \approx136.11$
Площадь правых прямоугольников можно вычислить таким образом
$\displaystyle \int\limits^5_0 {\big(3x^2+2x\big)} \, dx \approx h\cdot\bigg(f(\frac{1}{3})+...+f( 5 )\bigg)= \\ \\ \\ =\frac{1}{3} \cdot\bigg(1+ \frac{8}{3} +5+8+\frac{35}{3}+16+21+\frac{80}{3}+33+40+\frac{143}{3}+56+65+\\ \\ +\frac{224}{3}+85\bigg)= \frac{1480}{9} \approx164.44$

Метод трапеций
Шаг разбиения $h= \dfrac{b-a}{n} = \dfrac{1}{3}$
Найдем точек узлов разбиения:
$x_0=0;\\ x_1=x_0+h=0+\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{3} ;\\ x_2=x_1+h=\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{3} ;\\ x_3=x_2+h=\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} =1;\\ x_4=x_3+h=1+\dfrac{1}{3} =\dfrac{4}{3} ;\\ x_5=x_4+h=\dfrac{4}{3} +\dfrac{1}{3} =\dfrac{5}{3} ;\\ x_6=x_5+h=\dfrac{5}{3} +\dfrac{1}{3} =2;\\ x_7=x_6+h=2+\dfrac{1}{3} =\dfrac{7}{3} ;\\ x_8=x_7+h=\dfrac{7}{3} +\dfrac{1}{3} =\dfrac{8}{3} ;\\ x_9=x_8+h=\dfrac{8}{3} +\dfrac{1}{3} =3$
$x_{10}=x_9+h=3+\dfrac{1}{3} =\dfrac{10}{3} ;\\ x_{11}=x_{10}+h=\dfrac{1}{3} +\dfrac{10}{3} =\dfrac{11}{3} ;\\ x_{12}=x_{11}+h=\dfrac{11}{3} +\dfrac{1}{3} =4;\\ x_{13}=x_{12}+h=4+\dfrac{1}{3} =\dfrac{13}{3} ;\\ x_{14}=x_{13}+h=\dfrac{13}{3} +\dfrac{1}{3} =\dfrac{14}{3} ;\\ x_{15}=x_{14}+h=5$
Тогда определенный интеграл можно вычислить по формуле:
$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx \approx h\cdot\bigg[ \frac{f(x_0)+f(x_{15})}{2} +f(x_1)+...+f(x_{n-1})\bigg]=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3} \cdot\bigg[ \frac{85}{2} +1+\dfrac{8}{3} +5+8+\dfrac{35}{3} +16+21+\dfrac{80}{3} +33+40+\dfrac{143}{3} +56+\\ \\ \\ +65+\dfrac{224}{3} +85\bigg]= \frac{2705}{18} \approx150,3$

Метод Симпсона(парабол)
На отрезке $[0;5]$ проведем разбиение на чётное количество равных отрезков. Будем обозначать через $2n$
Определённый интеграл приближенно можно вычислить следующим образом:
$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx \approx \frac{h}{3} \bigg[ f(x_0)+f(x_{2n})+2(f(x_2)+f(x_4)+...+f(x_{2n-2}))+\\ \\ \\ +4(f(x_1)+f(x_3)+...+f(x_{2n-1}))\bigg]$
Где $h= \dfrac{b-a}{2n}$ - шаг, $f(x_i)$ - значения подынтегральной функции в точках $x_0,x_1,x_2,...,x_{2n-2},x_{2n-1},x_{2n}$

$\displaystyle \int\limits^5_0 {\bigg(3x^2+2x\bigg)} \, dx \approx \frac{2\cdot \frac{1}{3} }{6} \bigg[0+85+2\cdot224+4\cdot184.33\bigg]=141.01$