Question

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: Найти: 1) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 2) площадь грани А1А2А4; 3) объем пирамиды; 4) уравнение грани А1А3А4; 5) уравнение ребра А2А3.

Answer 1

Posted Декабрь 17, 2013 by Slavko Михайленко
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Координаты точек:А1(4;-1;3) А2(-2;1;0) А3(0;-5;1) А4(3;2;-6)
1) Найти длины ребер А1А2;А1А3;А1А4.
Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер
А1А2=(−2−4)2+(1+1)2+(0−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=7

А1А3=(0−4)2+(−5+1)2+(1−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=6

А1А4=(3−4)2+(2+1)2+(−6−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=91−−√

2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Для того чтобы найти угол между ребрами, найдем уравнения прямых этих ребер, а затем угол между прямыми. Уравнения прямых будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1
Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямых А1А2=x−4−2−4=y+11+1=z−30−3=>
А1А2=x−4−6=y+12=z−3−3

А1А4=x−43−4=y+12+1=z−3−6−3=>
А1А4=x−4−1=y+13=z−3−9

Угол между прямыми находится по формуле
cosϕ=l1l2+m1m2+n1n2l21+m21+n21−−−−−−−−−−√l22+m22+n22−−−−−−−−−−√
где S1(l1;m1;n1) направляющий вектор первой прямой S2(l2;m2;n2) - второй прямой. Поставляем координаты направляющих векторов
cosA4A1A2ˆ=(−6)(−1)+2∗3+(−3)(−9)(−6)2+22+(−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−1)2+32+(−9)2−−−−−−−−−−−−−−−√=6+6+2736+4+9−−−−−−−−√∗1+9+81−−−−−−−−√=397∗91−−√=>A4A1A2ˆ ≈340

3) Площадь грани А1А2А3.
В основании лежи треугольник у которого уже известны стороны A1A2=7 и A1A3=6, координаты всех точек, т.е. можно найти длину третьей стороны и воспользоваться формулой Герона для нахождения площади, можно зная длину основания A1A2 и уравнение прямой A1A2 найдем расстояние от точки A3 до этой прямой это будет высота треугольника и найдем площадь по формуле S=12ah.
Найдем третью сторону и воспользуемся формулой Герона
S=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√,p=a+b+c2
А2А3=(0+2)2+(−5−1)2+(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=41−−√
тогда полупериметр равен p=6+7+41√2=13+41√2
S=13+41−−√2∗13+41−−√−122∗13+41−−√−142∗13+41−−√−241−−√2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=
=13+41−−√2∗1+41−−√2∗41−−√−12∗13−41−−√2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=
воспользуемся формулой сокращенного умножения - формулой разности квадратов a2−b2=(a−b)(a+b)
=14(132−41)(41−1)−−−−−−−−−−−−−−√=3245√=85√

4)Уравнение прямой А1А2.
Уравнение прямой было найдено в п.2
А1А2=x−4−6=y+12=z−3−3

5) Уравнение плоскости А1А2А3.
Известны координаты точек А1(4;−1;3),А2(−2;1;0),А3(0;−5;1)
Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки в координатной форме
∣∣∣∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣∣∣∣=0
Подставляем координаты точек
∣∣∣∣x−4−2−40−4y+11+1−5+1z−30−31−3∣∣∣∣=∣∣∣∣x−4−6−4y+12−4z−3−3−2∣∣∣∣=
=(x−4)∗2∗(−2)+(y+1)(−3)(−4)+(−6)(−4)(z−3)−(−4)2(z−3)−(−4)(−3)(x−4)−(−2)(−6)(y+1)=
=−4(x−4)+12(y+1)+24(z−3)+8(z−3)−12(x−4)−12(y+1)=−16(x−4)+32(z−3)=
=−16x+64+32z−96=−16x+32z−32=0
Уравнение плоскости
−16x+32z−32=0=>−x+2z−2=0