Question

При каких натуральных n число 8n+3 делится на 13

Answer 1

N может быть равно 11 .

Answer 2

При n кратной 13 тоесть чтоб n делилась на 13 без остатка

Answer 3

Чтобы узнать при каких натуральных числах \(8n + 3\) делится на 13, нужно решить соответствующее диофантово уравнение. Уравнение выглядит так:

\[8n + 3 \equiv 0 \pmod{13}\]

Здесь \(\equiv\) обозначает сравнение по модулю. Мы ищем такие натуральные числа \(n\), при которых выражение \(8n + 3\) делится на 13.

Перепишем уравнение, чтобы избавиться от остатка:

\[8n \equiv -3 \pmod{13}\]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти обратный элемент для 8 по модулю 13. Обратный элемент для числа \(a\) по модулю \(m\) обозначается как \(a^{-1}\) и удовлетворяет условию:

\[a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{m}\]

Для \(a = 8\) и \(m = 13\) найдем обратный элемент. Посмотрим, какое число удовлетворяет условию \(8 \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{13}\). Решив это уравнение, мы найдем, что \(a^{-1} \equiv 5 \pmod{13}\), потому что \(8 \cdot 5 \equiv 40 \equiv 1 \pmod{13}\).

Теперь умножим обе стороны начального уравнения на 5:

\[5 \cdot 8n \equiv 5 \cdot (-3) \pmod{13}\]

Это упрощается до:

\[n \equiv -15 \equiv 10 \pmod{13}\]

Таким образом, при любом натуральном числе \(n\), которое имеет вид \(10 + 13k\), где \(k\) — целое число, \(8n + 3\) делится на 13.