Question

Помогите, пожалуйста: 1) Вычислить пределы: а) б) 2) Найти производную функции (y'x) и вычислить ее значение при x=1: а) y=㏑x б) y= в)

Answer 1

.........................

Answer 2

Давайте начнем с первого вопроса и вычислим пределы:

1) а) Предел функции:

lim (x -> 0) (sin(2x) / x)

Для вычисления этого предела, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, применяя его к числителю и знаменателю:

lim (x -> 0) (sin(2x) / x) = lim (x -> 0) (2cos(2x) / 1)

Теперь подставим x = 0:

lim (x -> 0) (2cos(2x) / 1) = 2cos(0) / 1 = 2 * 1 / 1 = 2

Ответ: lim (x -> 0) (sin(2x) / x) = 2

1) б) Предел функции:

lim (x -> ∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 - 5x + 1)

Для вычисления этого предела, мы можем применить правило для нахождения пределов между двумя многочленами с одинаковой степенью x:

lim (x -> ∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 - 5x + 1) = lim (x -> ∞) (1 + 3/x - 2/x^2) / (2 - 5/x + 1/x^2)

Теперь вычислим пределы каждой из дробей:

lim (x -> ∞) (1) = 1 lim (x -> ∞) (3/x) = 0 (поскольку 3/x стремится к нулю при x -> ∞) lim (x -> ∞) (-2/x^2) = 0 (поскольку -2/x^2 стремится к нулю при x -> ∞)

Теперь разделим каждый из пределов:

lim (x -> ∞) (1 + 3/x - 2/x^2) / (2 - 5/x + 1/x^2) = (1 + 0 - 0) / (2 - 0 + 0) = 1/2

Ответ: lim (x -> ∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 - 5x + 1) = 1/2

Теперь перейдем ко второму вопросу и найдем производные функций:

2) а) y = ln(x)

Для нахождения производной функции y = ln(x), мы можем использовать правило дифференцирования логарифма:

dy/dx = 1/x

Теперь вычислим значение производной при x = 1:

dy/dx |(x=1) = 1/1 = 1

Ответ: y'x = 1 при x = 1 для функции y = ln(x).

2) б) y = x^2 + 3x - 5

Для нахождения производной функции y = x^2 + 3x - 5, мы можем применить правила дифференцирования многочленов:

dy/dx = 2x + 3

Теперь вычислим значение производной при x = 1:

dy/dx |(x=1) = 2*1 + 3 = 2 + 3 = 5

Ответ: y'x = 5 при x = 1 для функции y = x^2 + 3x - 5.