Question

Монета достоинством в 1 рубль весит 6 г, в 2 рубля — 17 г, а в 5 рублей — 30 г. В сберкассе можно поменять любой набор монет на любой другой набор того же общего веса. Можно ли такими обменами обогатиться с 1998 до 2099 рублей? (В обменах могут участвовать только монеты достоинством 1, 2 и 5 рублей.)

Answer 1

5*6 г = 30 г
5*1 р = 5 р
По весу и по суме 1 и 5 рублей взаимозаменяемы, потому для упрощение далее 5 рублей игнорируем

17*(6 г)=6*(17 г) =  102г
17*(1 р) - 6*(2 р) = 5р прибыли при обмене

тогда при обмене получится такая система сумм
12n + t = 1998
17n + t = 2099
n - целое число, t - просто заглушка из одинакового набора монет

отнимем одно от другого
5n = 101
очевидно что в целых числах такое не решается
значит 2099 четко добиться нельзя, больше можно

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные варианты обмена монет в Сберкассе с целью увеличения суммы денег от 1998 до 2099 рублей.

У нас есть монеты достоинством 1, 2 и 5 рублей, и вес каждой монеты соответственно равен 6 г, 17 г и 30 г.

Для удобства обозначим через \(х_1, х_2\) и \(х_5\) количество монет достоинством 1, 2 и 5 рублей соответственно.

Таким образом, общий вес монет можно представить уравнением:

\[6x_1 + 17x_2 + 30x_5 = W,\]

где \(W\) - общий вес монет в граммах.

Нам необходимо найти такие значения \(x_1, x_2\) и \(x_5\), чтобы сумма их номиналов соответствовала диапазону от 1998 до 2099 рублей.

Также, учитывая, что обмены производятся между наборами монет, имеющими одинаковый общий вес, у нас есть еще одно уравнение:

\[6x_1 + 17x_2 + 30x_5 = C,\]

где \(C\) - постоянный вес обмена.

Мы можем переписать это уравнение в виде:

\[x_1 = \frac{C - 17x_2 - 30x_5}{6}.\]

Теперь приступим к поиску подходящих значений. Заметим, что вес каждой монеты является положительным числом. Давайте определим ограничения для переменных:

\[x_1, x_2, x_5 \geq 0.\]

Теперь мы можем перебирать значения переменных \(x_2\) и \(x_5\) в допустимых пределах и находить соответствующие им значения \(x_1\).

Следующим шагом будет проверка, лежат ли найденные комбинации в пределах интересующего нас диапазона суммы денег (1998-2099 рублей).

Такой метод позволит нам определить, можно ли такими обменами обогатиться в указанный временной период.