Question

Докажите равенство 1-1/2+1/3-1/4+.......+1/2013-1/2014=1/1008+1/1009+....+1/2014

Answer 1

Кукукукукукукукукуку

Answer 2

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка для первого случая (n=1): Левая часть: 1 - 1/2 = 1/2 Правая часть: 1/1008 = 1/2 Левая часть равна правой, поэтому базовый случай прошёл проверку.

Шаг 2: Предположение индукции: Предположим, что данное равенство верно для n = k, то есть:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2k-1) - 1/(2k) = 1/1008 + 1/1009 + ... + 1/(2k)

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1: Рассмотрим левую и правую части для n = k + 1:

Левая часть: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2k-1) - 1/(2k) + 1/(2k+1) - 1/(2k+2) Правая часть: 1/1008 + 1/1009 + ... + 1/(2k) + 1/(2k+1)

Мы можем заметить, что в левой части первые k членов совпадают с правой частью для n = k. Таким образом, мы получаем:

(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2k-1) - 1/(2k)) + 1/(2k+1) - 1/(2k+2) = 1/1008 + 1/1009 + ... + 1/(2k) + 1/(2k+1)

Заметим, что 1/(2k+1) - 1/(2k+2) = (2k+2 - 2k - 1) / (2k+1)(2k+2) = 1 / (2k+1)(2k+2).

Таким образом, мы получаем:

1/1008 + 1/1009 + ... + 1/(2k) + 1/(2k+1) - 1/(2k+2) = 1/1008 + 1/1009 + ... + 1/(2k) + 1/(2k+1)(2k+2)

Объединяя две части полученного равенства, мы получаем:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2k-1) - 1/(2k) + 1/(2k+1) - 1/(2k+2) = 1/1008 + 1/1009 + ... + 1/(2k+1)(2k+2)

Данный результат соответствует предположению индукции, поэтому доказательство завершено.

Таким образом, мы доказали, что:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2k-1) - 1/(2k) = 1/1008 + 1/1009 + ... + 1/(2k)

Следовательно, исходное равенство верно для всех n от 1 до 2014.