Question

Помогите, пожалуйста, решить комплексное уравнение: z²-(3+4i)z-2+6i=0

Answer 1

Решение
z² - (3+4i)z - (2-6i) = 0
D = (3 + 4i)² + 4*1*(2 - 6i) = 9 + 24i + 16i² + 8 - 24i = 1
z₁ = (3 + 4i - 1)/2 = (2 + 4i)/2
z₁ = 1 + 2i
z₂ = (3 + 4i + 1)/2 = (4 + 4i)/2
z₂ = 2 + 2i
Ответ: z₁ = 1 + 2i ; z₂ = 2 + 2i

Answer 2

Давайте решим это комплексное квадратное уравнение. Обозначим \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) - это действительные числа, а \( i \) - мнимая единица (\( i^2 = -1 \)).

Уравнение выглядит следующим образом:

\[ z^2 - (3 + 4i)z - 2 + 6i = 0 \]

Подставим \( z = a + bi \) в уравнение:

\[ (a + bi)^2 - (3 + 4i)(a + bi) - 2 + 6i = 0 \]

Раскроем квадрат:

\[ (a^2 + 2abi + (bi)^2) - (3a + 4ai + 3bi + 4bi^2) - 2 + 6i = 0 \]

Учтем, что \( i^2 = -1 \):

\[ a^2 + 2abi - b^2 - 3a - 4ai - 3b - 4(-1) - 2 + 6i = 0 \]

Сгруппируем действительные и мнимые части:

\[ (a^2 - b^2 - 3a - 2) + (2ab - 3b + 6)i = 0 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Действительная часть: \( a^2 - b^2 - 3a - 2 = 0 \) 2. Мнимая часть: \( 2ab - 3b + 6 = 0 \)

Давайте решим эти уравнения.

1. Действительная часть: \[ a^2 - b^2 - 3a - 2 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \( a \). Мы можем использовать квадратное уравнение или методы факторизации. Для упрощения, предположим, что у нас есть корни \( a_1 \) и \( a_2 \).

\[ (a - a_1)(a - a_2) = 0 \]

Теперь мы получили два уравнения, одно из которых мы уже знаем, а второе:

\[ a^2 - b^2 - 3a - 2 = (a - a_1)(a - a_2) \]

2. Мнимая часть: \[ 2ab - 3b + 6 = 0 \] Вынесем \( b \) как общий множитель: \[ b(2a - 3) + 6 = 0 \]

Теперь у нас есть два варианта: - \( b = 0 \), что дает \( a \) из уравнения действительной части. - \( 2a - 3 + \frac{6}{b} = 0 \), это может быть использовано для нахождения \( a \) при ненулевом \( b \).

После нахождения значений \( a \) и \( b \) мы можем снова использовать их для нахождения \( z = a + bi \).