Question

Найти все значения параметра a при каждом из которых все решения уравнения 2|x-a|+a-4+x=0 принадлежат отрезку 0;4

Answer 1

Обозначим х-а=у
2|y|+y=4-2a
1) y>0  3y=4-2a  y=4/3-2a/3 верно только, если а<2
2) y<=0   -y=4-2a  y=2a-4  верно только, если а=>2
---------------------------------------------------------------
 x=4/3 +a/3  для а<2
 х=2     при а=2
 х=2а-4    при а>2
-----------------------------
при -8/3<=а<=2 выполняются условия первого случая и решения на отрезке 0,4
При    8=>а>2  выполняются условия второго  случая и решения на отрезке 0,4
Ответ :    8=>a=>-8/3  (=> - больше либо равно)

Answer 2

Рассмотрим по традиции для модуля два случая.
1) х ≥ а, причем х∈[0; 4]
Получим систему:
$\begin {cases} 2x-2a+a-4+x=0 \\ x \geq a\\ 0 \leq x \leq 4 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} 3x=a+4 \\ x \geq a\\ 0 \leq x \leq 4 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x=\frac{a+4}{3} \\ x \geq a\\ 0 \leq x \leq 4 \end {cases} \Rightarrow \\ \begin {cases} x=\frac{a+4}{3} \\ \frac{a+4}{3} \geq a\\ 0 \leq \frac{a+4}{3} \leq 4 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x=\frac{a+4}{3} \\ \frac{a+4-3a}{3} \geq 0\\ 0 \leq a+4 \leq 12 \end {cases} \Leftrightarrow$
$\begin {cases} x=\frac{a+4}{3} \\ 2a \leq 4\\ -4 \leq a \leq 8 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x=\frac{a+4}{3} \\ a \leq 2\\ -4 \leq a \leq 8 \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x=\frac{a+4}{3} \\ -4 \leq a \leq 2 \end {cases}$
При а∈[-4; 2] исходное уравнение имеет корень из отрезка [0; 4].

2) х < а, причем х∈[0; 4]
Получим систему:
$\begin {cases} 2a-2x+a-4+x=0 \\ x \ \textless \ a\\ 0 \leq x \leq 4 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x=3a-4 \\ x \ \textless \ a\\ 0 \leq x \leq 4 \end {cases} \Rightarrow \\ \begin {cases} x=3a-4 \\ 3a-4 \ \textless \ a\\ 0 \leq 3a-4 \leq 4 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x=3a-4 \\ 2a\ \textless \ 4 \\ 4 \leq 3a \leq 8 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x=3a-4 \\ a\ \textless \ 2 \\ \frac{4}{3} \leq a \leq \frac{8}{3} \end {cases} \Rightarrow$
$\begin {cases} x=3a-4 \\ \frac{4}{3} \leq a \ \textless \ 2 \end {cases}$
При а∈[4/3; 2) исходное уравнение также имеет корень из отрезка [0; 4].

Объединяем результаты 1) и 2). Получим, что исходное равнение имеет корни из отрезка [0; 4] при a∈[-4; 2].

Необязательно, но... Можно уточнить, что при а∈[-4; 4/3) или при а=2 уравнение имеет единственный корень из [0; 4], а при а∈[4/3; 2) уравнение имеет 2 корня и об они из [0; 4].

Ответ: [-4; 2].

Answer 3

Дано уравнение: 2|x-a| + a - 4 + x = 0

Чтобы найти все значения параметра a, при которых все решения уравнения принадлежат отрезку [0,4], нужно рассмотреть два случая:

1) Если решение x принадлежит отрезку [0, a]: При x ∈ [0, a] |x-a| = a-x (x ≤ a). Подставим это в уравнение: 2(a-x) + a - 4 + x = 0. Раскроем скобки: 2a - 2x + a - 4 + x = 0. Сгруппируем переменные: 3a - x - 4 = 0. Выразим x: x = 3a - 4. Поскольку x ∈ [0, a], выберем значения a так, чтобы 0 ≤ 3a - 4 ≤ a. Решим неравенство: 0 ≤ 3a - 4 ≤ a. Перенесем все в одну часть: 0 ≤ 2a - 4. Добавим 4 к обеим частям: 4 ≤ 2a. Разделим на 2: 2 ≤ a. Таким образом, при значениях параметра a из отрезка [2, ∞) все решения уравнения будут принадлежать отрезку [0, a].

2) Если решение x принадлежит отрезку [a, 4]: При x ∈ [a, 4] |x-a| = x-a (x ≥ a). Подставим это в уравнение: 2(x-a) + a - 4 + x = 0. Раскроем скобки: 2x - 2a + a - 4 + x = 0. Сгруппируем переменные: 3x - a - 4 = 0. Выразим x: x = (a + 4)/3. Поскольку x ∈ [a, 4], выберем значения a так, чтобы a ≤ (a + 4)/3 ≤ 4. Решим неравенство: a ≤ (a + 4)/3 ≤ 4. Перенесем все в одну часть: 0 ≤ (a + 4)/3 - a. Упростим: 0 ≤ (a + 4 - 3a)/3. Раскроем скобки: 0 ≤ (4 - 2a)/3. Умножим обе части на 3: 0 ≤ 4 - 2a. Перенесем 4 влево: -4 ≤ -2a. Разделим на -2 и поменяем неравенство: 2 ≥ a. Таким образом, при значениях параметра a из отрезка (-∞, 2] все решения уравнения будут принадлежать отрезку [a, 4].

Итак, все значения параметра a, при которых все решения уравнения 2|x-a| + a - 4 + x = 0 принадлежат отрезку [0,4], можно объединить в результирующий отрезок [2,4].