Question

Найти tg(2x), если tg(x/2) = 1/5

Answer 1

Возведем обе части в квадрат
$(tg \frac{x}{2} )^2=(\frac{1}{5} )^2\\ \\ tg^2\frac{x}{2} =\frac{1}{25} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \\ \\ 25-25\cos x=1+\cos x\\ \\ -26\cos x=-24\\ \\ \cos x= \frac{24}{26}= \frac{12}{13} \\ \\ \sin x= \sqrt{1-\cos^2x} = \frac{5}{13}$

$tgx= \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{5}{12}$

$tg2x= \frac{2tgx}{1-tg^2x} = \frac{2\cdot \frac{5}{12} }{1- \frac{25}{144} } = \frac{120}{119} =1 \frac{1}{119}$

Answer 2

Дано уравнение tg(x/2) = 1/5 и требуется найти значение tg(2x). Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой двойного угла для тангенса.

Формула двойного угла для тангенса выглядит следующим образом: tg(2x) = (2 * tg(x)) / (1 - tg^2(x))

Нам уже дано значение tg(x/2) = 1/5. Заменим в формуле tg(x) на 2 * tg(x/2) и подставим известные значения:

tg(2x) = (2 * (2 * tg(x/2))) / (1 - (2 * tg(x/2))^2)

Упростим это выражение:

tg(2x) = (4 * tg(x/2)) / (1 - 4 * tg^2(x/2))

Теперь можем подставить значение tg(x/2) = 1/5:

tg(2x) = (4 * (1/5)) / (1 - 4 * (1/5)^2)

tg(2x) = (4/5) / (1 - 4/25)

tg(2x) = (4/5) / (25/25 - 4/25)

tg(2x) = (4/5) / (21/25)

Для деления одной дроби на другую, мы можем умножить первую дробь на обратную к второй:

tg(2x) = (4/5) * (25/21)

Умножим числитель и знаменатель между собой:

tg(2x) = (4 * 25) / (5 * 21)

tg(2x) = 100 / 105

Теперь можем упростить эту дробь:

tg(2x) = 20/21

Таким образом, значение tg(2x) равно 20/21.