Question

найдите a+b, если tga и tgb - корни уравнения 3x^2- (3+sqrt3)+sqrt3=0

Answer 1

3x^2-(3+sqrt(3)+sqrt(3)=0

3x^2-3-sqrt(3)+sqrt(3)=0

3x^2=3

x^2=1

x1=1

x2=-1

тогда

tg(a)=1 => a=pi/4

tg(b)=-1 => b=3*pi/4

и

a+b=pi/4+3*pi/4=pi

Answer 2

Исходное уравнение: 3x^2 - (3√3)x + √3 = 0

Дано, что tga и tgb - корни этого уравнения. Пусть tga = a и tgb = b.

Так как tga = a является корнем, то подставим a в уравнение и получим следующее:

3a^2 - (3√3)a + √3 = 0

Также, так как tgb = b является корнем, подставим b и получим:

3b^2 - (3√3)b + √3 = 0

Мы хотим найти a + b, поэтому сложим эти два уравнения:

(3a^2 - (3√3)a + √3) + (3b^2 - (3√3)b + √3) = 0

Раскроем скобки:

3a^2 - 3√3a + √3 + 3b^2 - 3√3b + √3 = 0

Сгруппируем по степеням a и b:

(3a^2 + 3b^2) + (-3√3a - 3√3b) + (√3 + √3) = 0

Упростим:

3(a^2 + b^2) - 3√3(a + b) + 2√3 = 0

Так как a + b = tga + tgb, подставим значения tga и tgb:

3(a^2 + b^2) - 3√3(tga + tgb) + 2√3 = 0

Знаем, что a + b = tga + tgb, поэтому заменим это значение:

3(a^2 + b^2) - 3√3(a + b) + 2√3 = 0

Теперь подставим корни уравнения tga и tgb:

3(a^2 + b^2) - 3√3(a + b) + 2√3 = 0

3(a^2 + b^2) - 3√3(a + b) + 2√3 = 0

Мы хотим найти a + b, поэтому будет справедливо приравнять это значение к нулю:

3(a^2 + b^2) - 3√3(a + b) + 2√3 = 0

Теперь решим данное уравнение относительно a + b.

Вынесем общий множитель 3:

3(a^2 + b^2 - √3(a + b)) + 2√3 = 0

По условию задачи, мы можем заметить, что уравнение 3x^2 - (3√3)x + √3 = 0 можно записать в виде:

(√3x)^2 - (2√3)(√3x) + √3 = 0

Как видно, это уравнение является квадратным трехчленом формы a^2 - 2ab + b^2, где a = √3x и b = √3

Мы знаем, что (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Применяя это в нашем случае, получим:

(√3x - √3)^2 = (√3x)^2 - 2(√3x)(√3) + (√3)^2

3x - 3 = 0

3x = 3

x = 1

Таким образом, корни уравнения 3x^2 - (3√3)x + √3 = 0 равны x = 1.

Значит, tga = tgb = 1 a + b = 1 + 1 = 2

Итак, a + b = 2.