Question

Найти экстремумы функции. СРОЧНОООООООООО!!!! с подробным решение, заранее спасибо. 1) y=4x²-6x-7; 2) y=x5; 3) y=(x+1)/x; 4) y=x+ln(1-2x); 5) y=3sin x-cos x; СРОЧНОООООО!!! с подробным решение

Answer 1

Все функции дифференцируем и приравниваем 0:
$1)y'=8x-6=0\\x_0=\frac{3}{4}$
$2)y^5$
Не имеет экстремумов, т.к. это гипербола с нечётным показателем
$3)y'=(\frac{x+1}{x})'=-\frac{1}{x^2}\neq 0$
Экстремумов нет
$4)y'=(x+\ln(1-2x))'=1+\frac{1}{1-2x}\cdot(-2)=0\\\frac{1-2x-2}{1-2x}=0\\x_0=-\frac{1}{2}$
$5) y'=(3\sin x-\cos x)'=3\cos x+\sin x=0\\tg x=-\frac{1}{3}\\x=-arctg(\frac{1}{3})+\pi k$

Answer 2

1) Для нахождения экстремумов функции y=4x²-6x-7 нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции: y' = 8x - 6.

Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим уравнение: 8x - 6 = 0. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 8x = 6, x = 6/8, x = 0.75.

Теперь, чтобы проверить, является ли эта точка экстремумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки. Выберем произвольную точку, например, x=0, и подставим ее в производную: y'(0) = 8*0 - 6 = -6.

Так как получилось отрицательное число, то это говорит нам о том, что в окрестности точки x=0.75 функция убывает. Следовательно, точка x=0.75 является точкой максимума функции y=4x²-6x-7.

2) Функция y=x^5 не имеет экстремумов, так как вся функция возрастает и не имеет локальных максимумов или минимумов.

3) Для нахождения экстремумов функции y=(x+1)/x нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Найдем производную функции: y' = (x * 1 - (x+1) * 1) / x^2 = -1 / x^2.

Поскольку производная равна -1 / x^2, она никогда не равна нулю. Следовательно, данная функция не имеет экстремумов.

4) Для нахождения экстремумов функции y=x+ln(1-2x) нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Найдем производную функции: y' = 1 + (-2 / (1-2x)).

Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим уравнение: 1 + (-2 / (1-2x)) = 0. Умножим обе части уравнения на (1-2x): 1 - 2 / (1-2x) = 0, 1 - 2 = 2 / (1-2x), -1 = 2 / (1-2x), -1(1-2x) = 2, -1 + 2x = 2, 2x = 3, x = 3/2.

Теперь, чтобы проверить, является ли эта точка экстремумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки. Выберем произвольную точку, например, x=1.25, и подставим ее в производную: y'(1.25) = 1 - 2 / (1-2*1.25) = 1 - 2 / (1-2.5) = 1 - 2 / -1.5 = 1 + 4/3 = 7/3.

Так как получилось положительное число, то это говорит нам о том, что в окрестности точки x=3/2 функция возрастает. Следовательно, точка x=3/2 является точкой минимума функции y=x+ln(1-2x).

5) Для нахождения экстремумов функции y=3sin(x)-cos(x) нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Найдем производную функции: y' = 3cos(x) + sin(x).

Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим уравнение: 3cos(x) + sin(x) = 0.

Для решения этого уравнения требуется применение специальных методов, например, метода полного перебора или численных методов. Однако, можно заметить, что данная функция имеет периодичность 2П, а значит, чтобы найти все точки экстремума, достаточно рассмотреть промежуток [0, 2П].

В общем, приведенные функции имеют следующие экстремумы: 1) Функция y=4x²-6x-7 имеет точку максимума при x=0.75. 2) Функция y=x^5 не имеет экстремумов. 3) Функция y=(x+1)/x не имеет экстремумов. 4) Функция y=x+ln(1-2x) имеет точку минимума при x=3/2. 5) Функция y=3sin(x)-cos(x) имеет экстремумы, которые требуют дополнительных вычислений или применения численных методов.