Question

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3√2, √15 , и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите ко- синус угла AKC, если ∠KAC>90

Answer 1

Угол с и угол к будут равны, так ак это подобные треугольники.

по теореме косинусов находим косинус угла с.

косинус угла с =1+36-11/2*1*36= 13/36

Answer 2

Для начала, обозначим стороны треугольника abc следующим образом: ac = 3√2 ab = √15 bc = 1

Поскольку треугольник с вершинами k, a и c подобен треугольнику abc, то отношение длин сторон должно быть сохранено. Поэтому, мы можем записать следующее отношение:

ak / ac = ab / bc

Подставим значения длин сторон и получим:

ak / 3√2 = √15 / 1

Домножим обе части уравнения на 3√2:

ak = (√15 / 1) * (3√2)

ak = 3√30

Теперь нужно найти косинус угла KAC. Для этого воспользуемся косинусной теоремой:

cos(∠KAC) = (ac^2 + ak^2 - ck^2) / (2 * ac * ak)

Подставим значения длин сторон:

cos(∠KAC) = ( (3√2)^2 + (3√30)^2 - 1^2) / (2 * (3√2) * (3√30) )

cos(∠KAC) = (18 + 270 - 1) / (6√2 * √30)

cos(∠KAC) = 287 / (6√2 * √30)

Учитывая, что ∠KAC > 90, косинус будет отрицательным. Поэтому, для того чтобы найти синус, мы можем использовать следующее тождество:

sin(∠KAC) = √(1 - cos^2(∠KAC))

sin(∠KAC) = √(1 - (287 / (6√2 * √30))^2)

sin(∠KAC) = √(1 - 287^2 / (6^2 * 2 * 30))

sin(∠KAC) = √(1 - 82369 / (72 * 2 * 30))

sin(∠KAC) = √(1 - 82369 / 4320)

sin(∠KAC) = √(34951 / 4320)

sin(∠KAC) = √(4079 / 480)

sin(∠KAC) = √(4079) / √(480)

sin(∠KAC) = (√4079) / (4√30)

Таким образом, ко-синус угла AKC равен (√4079) / (4√30).