Question

Упростить (а-b)^3+(b-c)^3+(a-c)^3

Answer 1

(a - b)^3 + (b - c)^3 + (a - c)^3 = (a - b + b - c)((a - b)^2 - (a - b)(b - c) + (b - c)^2) + (a - c)^3 = (a - c)(a^2 - 2ab + b^2 - ab + b^2 + ac - bc + b^2 - 2bc + c^2) + (a - c)^3 = (a - c)(a^2 - 3ab + 3b^2 + ac - 3bc) + (a - c)^3 = (a - c)(a^2 - 3ab + 3b^2 + ac - 3bc + (a - c)^2) = (a - c)(a^2 - 3ab + 3b^2 + ac - 3bc + a^2 - 2ac + c^2) = (a - c)(2a^2 - 3ab + 3b^2 - ac + 3bc + c^2) = (a - c)(2a^2 - 3b(a - b - c) - ac + c^2)

(a - c)(2a^2 - 3b(a - b - c) - ac + c^2)

Answer 2

Для упрощения выражения \((a-b)^3 + (b-c)^3 + (a-c)^3\), мы можем воспользоваться формулой суммы кубов, которая гласит, что \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a-b)^3 + (b-c)^3 + (a-c)^3\). Поэтому, если мы выразим выражение в виде суммы кубов, то сможем упростить его:

\[(a-b)^3 + (b-c)^3 + (a-c)^3 = (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3) + (a^3 - 3a^2c + 3ac^2 - c^3)\]

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые и упростить выражение:

\[(a^3 + b^3 + a^3) + (-3a^2b + 3ab^2 - 3b^2c + 3bc^2 - 3a^2c + 3ac^2) + (-b^3 - c^3 - c^3)\]

Теперь сложим одинаковые слагаемые и упростим выражение:

\[2a^3 + 2b^3 + 2c^3 - 3a^2b + 3ab^2 - 3b^2c + 3bc^2 - 3a^2c + 3ac^2\]

Таким образом, упрощенное выражение равно:

\[2(a^3 + b^3 + c^3) - 3(a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + a^2c - ac^2)\]