Question

Найдите значения выражения 5-4sin² x=4cos x

Answer 1

Во вложении.....................................

Answer 2

Для нахождения значений переменной x в уравнении \(5 - 4\sin^2(x) = 4\cos(x)\), мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и алгеброй. Давайте разберемся подробно:

1. Заметим, что \(4\sin^2(x) = 4 - 4\cos^2(x)\) (это следует из тригонометрического тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)). 2. Подставим это значение обратно в исходное уравнение:

\[5 - (4 - 4\cos^2(x)) = 4\cos(x)\]

3. Упростим уравнение, скомбинировав подобные члены:

\[1 + 4\cos^2(x) = 4\cos(x)\]

4. Теперь преобразим уравнение в квадратное относительно \(\cos(x)\):

\[4\cos^2(x) - 4\cos(x) + 1 = 0\]

5. Решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться дискриминантом:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

где у нас есть \(a = 4\), \(b = -4\), и \(c = 1\).

\[\Delta = (-4)^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0\]

6. Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:

\[\cos(x) = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2(4)} = \frac{1}{2}\]

7. Теперь найдем значение угла \(x\). Обратимся к тригонометрическим значениям. Зная, что \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\), мы можем записать:

\[x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\]

где \(k\) - любое целое число.

Таким образом, уравнение \(5 - 4\sin^2(x) = 4\cos(x)\) имеет решение \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.