Question

Докажите тождество: 1-tg^2А=cos2A/cos^2A

Answer 1

1-tg^2А=1-sin^2А/cos^2A=cos^2А/cos^2A-sin^2А/cos^2A=(cos^2А-sin^2А)/cos^2A=cos2А/cos^2A, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны:

1 - tg^2(a)

Мы можем записать tg^2(a) в терминах sin и cos следующим образом:

tg^2(a) = sin^2(a) / cos^2(a)

Теперь, заменим это выражение в исходном уравнении:

1 - sin^2(a) / cos^2(a)

Для удобства дальнейшего расчета, мы можем записать sin^2(a) как (1 - cos^2(a)):

1 - (1 - cos^2(a))/cos^2(a)

Сократим дробь:

1 - 1/cos^2(a) + cos^2(a)/cos^2(a)

Теперь, избавимся от дробей и объединим все в одну дробь:

(cos^2(a) - 1 + cos^2(a))/cos^2(a)

Упростим числитель и проведем алгебраические операции:

(2cos^2(a) - 1)/cos^2(a)

Теперь, заменим 2cos^2(a) на cos(2a) (так как cos(2a) = 2cos^2(a) - 1):

cos(2a)/cos^2(a)

Теперь, заметим, что cos(2a) / cos^2(a) равно 1 / cos(a) (так как cos^2(a) по сути равно 1/cos(a)):

1 / cos(a)

Таким образом, мы доказали, что левая и правая стороны исходного выражения равны друг другу:

1 - tg^2(a) = 1 / cos(a)

Использование тригонометрических тождеств и алгебраических операций позволило нам доказать исходное выражение.