Question

Докажите тождество а) корень из 7 -4 корнеи из 3=2 - корень из 3 б) корень из 7 +2 корнеи из 10=корень из 5+ корень из 2

Answer 1

А) $\sqrt{7- 4\sqrt{3} } = \sqrt{4- 2\cdot2\cdot\sqrt{3} +3} =\sqrt{2^2- 2\cdot2\cdot\sqrt{3} +( \sqrt{3} )^2}=$
$= \sqrt{(2- \sqrt{3} )^2}=|2- \sqrt{3} | =2- \sqrt{3}\ \textgreater \ 0$

б) $\sqrt{7+ 2\sqrt{10} } = \sqrt{5+ 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} +2} =\sqrt{(\sqrt{5})^2+ 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} +( \sqrt{2} )^2}=$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+ \sqrt{2} )^2}=\sqrt{5}+ \sqrt{2}$

Answer 2

Для доказательства тождества а) начнем с левой стороны:

√7 - 4√3

Для удобства сравнения, домножим и разделим на √3:

(√7 - 4√3) * (√3 / √3)

= (√(7*3) - 4√(3*3)) / √3

= (√21 - 4√9) / √3

= (√21 - 4*3) / √3

= (√21 - 12) / √3

Теперь рассмотрим правую сторону:

2 - √3

Общий знаменатель √3, умножим и разделим на √3:

(2 - √3) * (√3 / √3)

= (2√3 - √(3*3)) / √3

= (2√3 - √9) / √3

= (2√3 - 3) / √3

Таким образом, левая и правая стороны равны:

(√21 - 12) / √3 = (2√3 - 3) / √3

Умножим обе стороны на √3:

√21 - 12 = 2√3 - 3

Перенесем все слагаемые с корнем влево, а остальные вправо:

√21 - 2√3 = 12 - 3

√21 - 2√3 = 9

Таким образом, доказано тождество а).

Теперь рассмотрим тождество б):

√7 + 2√10 = √5 + √2

Для удобства сравнения, домножим и разделим на √2:

(√7 + 2√10) * (√2 / √2)

= (√(7*2) + 2√(10*2)) / √2

= (√14 + 2√20) / √2

= (√14 + 2√(4*5)) / √2

= (√14 + 2√4√5) / √2

= (√14 + 2*2√5) / √2

= (√14 + 4√5) / √2

Теперь рассмотрим правую сторону:

√5 + √2

Общий знаменатель √2, умножим и разделим на √2:

(√5 + √2) * (√2 / √2)

= (√(5*2) + √(2*2)) / √2

= (√10 + √4) / √2

= (√10 + 2) / √2

Таким образом, левая и правая стороны равны:

(√14 + 4√5) / √2 = (√10 + 2) / √2

Умножим обе стороны на √2:

√14 + 4√5 = √10 + 2

Перенесем все слагаемые с корнем влево, а остальные вправо:

√14 - √10 = 2 - 4√5

Таким образом, доказано тождество б).