Question

Найти общее решение или общий интеграл: yy'+y²-xy=0

Answer 1

$yy'+y^2-xy=0|:y\ne 0\\\\y'+y=x\\\\y=uv,\; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+uv=x\\\\u'v+u(v'+v)=x\\\\1)\; v'+v=0\\\\\frac{dv}{dx}=-v,\; \int \frac{dv}{v}=-\int dx\\\\ln|v|=-x,\; v=e^{-x}$

$2)\; u'\cdot e^{-x}=x\\\\\frac{du}{dx}=\frac{x}{e^{-x}}\\\\\int du=\int xe^{x}dx\\\\\int xe^{x}dx=[u=x,du=dx,dv=e^{x}dx,v=e^{x}]=uv-\int vdu=\\\\=xe^{x}-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C\\\\3)\; y=uv=e^{-x}(xe^{x}-e^{x}+C)=x-1+Ce^{-x}$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение: yy' + y² - xy = 0.

Для нахождения общего решения или общего интеграла данного уравнения можно использовать метод разделения переменных или метод Лагранжа.

Применяя метод разделения переменных, представим уравнение в виде:

yy' + y² = xy

Сгруппируем y на одной стороне уравнения:

yy' + y² - xy = 0

Разделим уравнение на y²:

y'/y + 1 - x/y = 0

Перепишем уравнение в виде:

(dy/dx)/y + 1 = x/y

Теперь уравнение разделяются переменные:

(dy/dx)/y = x/y - 1

(dy/dx)/y = (x - y) / y

Умножим уравнение на y:

dy/dx = x - y

Теперь перепишем уравнение в дифференциальной форме:

dy + ydx = xdx - ydx

dy + ydx + ydx = xdx

dy + 2ydx = xdx

Интегрируя полученное уравнение, имеем:

∫(dy + 2ydx) = ∫xdx

y + y² = (1/2)x² + C

Получаем общее решение уравнения:

y + y² = (1/2)x² + C, где C - произвольная постоянная.