Question

Даны координаты точек A,B,C требуется: 1)Составить уравнение прямой проходящей через точку C параллельно AB 2)Составить уравнение плоскости проходящей через точку C перпендикулярно АВ A(-1,2,3) B(3,4,-1) C(0,1,-1)

Answer 1

Вектор АВ=(3-1;0-2;4-2)=(2;-2;2)Уравнение плоскости, проходящей через точку А (1;2;2) перпендикулярно вектору:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02*(x-1)-2*(y-2)+2*(z-2)=2x-2-2y+4+2z-4=2x-2y+2z-2=0или x-y+z-1=

Answer 2

1) Уравнение прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой AB:

Для этого найдем направляющий вектор прямой AB и используем его для построения уравнения прямой, проходящей через C.

Направляющий вектор прямой AB: \[ \vec{AB} = \langle B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z \rangle \] \[ \vec{AB} = \langle 3 - (-1), 4 - 2, (-1) - 3 \rangle = \langle 4, 2, -4 \rangle \]

Теперь уравнение прямой с точкой C и направляющим вектором \(\vec{AB}\) имеет вид: \[ \frac{x - C_x}{\vec{AB}_x} = \frac{y - C_y}{\vec{AB}_y} = \frac{z - C_z}{\vec{AB}_z} \]

Подставляем значения точки C и направляющего вектора: \[ \frac{x - 0}{4} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-4} \]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку C и параллельной AB, будет: \[ \frac{x}{4} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-4} \]

2) Уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной прямой AB:

Для этого используем нормальный вектор плоскости, который будет перпендикулярен направляющему вектору прямой AB. Нормальный вектор можно получить из координат направляющего вектора.

Нормальный вектор плоскости: \[ \vec{N} = \vec{AB} = \langle 4, 2, -4 \rangle \]

Теперь уравнение плоскости с точкой C и нормальным вектором \(\vec{N}\) имеет вид: \[ \vec{N} \cdot \vec{CP} = 0 \] где \(\vec{CP}\) - вектор, соединяющий точку C с любой точкой P(x, y, z) на плоскости.

Подставляем значения точки C и нормального вектора: \[ 4(x - 0) + 2(y - 1) - 4(z + 1) = 0 \]

Упрощаем уравнение: \[ 4x + 2y - 4z - 2 = 0 \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной AB, будет: \[ 4x + 2y - 4z - 2 = 0 \]