Question

Чему равна производная функции y= (6cos x- 5 sin x ) (x^3+7)

Answer 1

Y¹=(-6sinx-5Cosx)(x³+7)+(6Cosx-5Sinx)3x²

Answer 2

Чтобы найти производную функции \(y = (6\cos x - 5\sin x)(x^3 + 7)\), давайте воспользуемся правилами дифференцирования. Используем производные произведения и сложной функции.

1. Найдем производную по \(x\) для первого множителя \((6\cos x - 5\sin x)\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

\[ \frac{d}{dx} (6\cos x - 5\sin x) = 6\frac{d}{dx}\cos x - 5\frac{d}{dx}\sin x \]

Производные элементарных функций:

\[ \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \]

Подставим обратно:

\[ \frac{d}{dx} (6\cos x - 5\sin x) = 6(-\sin x) - 5(\cos x) \]

Упростим:

\[ \frac{d}{dx} (6\cos x - 5\sin x) = -6\sin x - 5\cos x \]

2. Теперь найдем производную по \(x\) для второго множителя \((x^3 + 7)\):

\[ \frac{d}{dx} (x^3 + 7) = 3x^2 \]

3. Теперь воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

\[ \frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

Где \(u(x) = 6\cos x - 5\sin x\) и \(v(x) = x^3 + 7\). Теперь подставим все значения:

\[ \frac{d}{dx} [(6\cos x - 5\sin x)(x^3 + 7)] = (-6\sin x - 5\cos x)(x^3 + 7) + (6\cos x - 5\sin x)(3x^2) \]

Это и есть производная функции \(y\) по \(x\):

\[ y' = (-6\sin x - 5\cos x)(x^3 + 7) + (6\cos x - 5\sin x)(3x^2) \]

Таким образом, выражение для производной функции \(y\) равно \((-6\sin x - 5\cos x)(x^3 + 7) + (6\cos x - 5\sin x)(3x^2)\).