Question

Найти все значения параметра а при котором уравнение имеет по крайне мере один корень и каждый корень меньше 1 х^2-(2а+6)х+4а+12=0

Answer 1

Приводим к общему виду
x²-2ax-6x+4a+12=0
x²-(6+2a)x+(12+4a)=0
один корень когда дискриминант равен 0
D=B²-4AC=0
A=1
B=-(6+2a)
C=(12+4a)
(6+2a)²-4*1*(12+4a)=0
36+24a+4a²-48-16a=0
4a²+8a-12=0
a²+2a-3=0
D=4-4*1*-3=4+12=16
a₁=(-2+√16)/2=1
a₂=(-2-√16)/2=-3
при значениях параметра а=1 или а=-3 уравнение имет один корень.

Answer 2

Чтобы найти значения параметра \(a\), при которых уравнение \(x^2 - (2a + 6)x + 4a + 12 = 0\) имеет хотя бы один корень, и каждый корень меньше 1, воспользуемся условием, что дискриминант должен быть неотрицательным, и найдем диапазон значений \(a\).

Уравнение квадратное и имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -(2a + 6)\), и \(c = 4a + 12\).

Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\). В данном случае:

\[D = (-(2a + 6))^2 - 4(4a + 12)\]

Нам нужно, чтобы \(D \geq 0\), чтобы уравнение имело хотя бы один корень. Решим неравенство:

\[(2a + 6)^2 - 4(4a + 12) \geq 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[4a^2 + 24a + 36 - 16a - 48 \geq 0\]

\[4a^2 + 8a - 12 \geq 0\]

Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого можно использовать метод интервалов или метод знаков. Я воспользуюсь методом знаков:

1. Найдем корни уравнения \(4a^2 + 8a - 12 = 0\). Факторизуем, используя квадратное уравнение или другие методы.

\[4a^2 + 8a - 12 = 0\]

\[a^2 + 2a - 3 = 0\]

\[(a + 3)(a - 1) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(a = -3\) и \(a = 1\).

2. Поставим знаки в интервалах, образованных корнями:

\(+ - +\)

3. Теперь выберем значения \(a\) в каждом интервале и проверим знак выражения \(4a^2 + 8a - 12\):

- В интервале \((- \infty, -3)\) выберем \(a = -4\): \(4(-4)^2 + 8(-4) - 12 = 64 - 32 - 12 = 20 > 0\). - В интервале \((-3, 1)\) выберем \(a = 0\): \(4(0)^2 + 8(0) - 12 = -12 < 0\). - В интервале \((1, +\infty)\) выберем \(a = 2\): \(4(2)^2 + 8(2) - 12 = 28 > 0\).

Итак, неравенство \(4a^2 + 8a - 12 \geq 0\) выполняется для \(a \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)\).

Таким образом, значения параметра \(a\), при которых уравнение \(x^2 - (2a + 6)x + 4a + 12 = 0\) имеет хотя бы один корень, и каждый корень меньше 1, - это \(a \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)\).