Question

(a-6)^2>-24a-5 доказать неравенство

Answer 1

(a-6)^2=a^2-12a+36; => a^2+41>12a; D= 36-41=-5; => корней нет. Это парабола, старший коэффициент положителен, корней нет, а следовательно, неравенство верно.

Answer 2

Для того чтобы доказать данное неравенство, начнем с раскрытия скобок:

(a-6)^2 > -24a - 5

a^2 - 12a + 36 > -24a - 5

Теперь приведем подобные слагаемые:

a^2 + 12a + 24a + 36 + 5 > 0

a^2 + 36a +41 > 0

Используем квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = 36^2 - 4 * 1 * 41 = 1296 - 164 = 1132

Так как D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Используем формулы:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-36 + sqrt(1132)) / 2

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-36 - sqrt(1132)) / 2

Теперь разобьем интервал на три части:

1) a < (-36 - sqrt(1132)) / 2 2) (-36 - sqrt(1132)) / 2 < a < (-36 + sqrt(1132)) / 2 3) a > (-36 + sqrt(1132)) / 2

Мы хотим доказать, что a^2 + 36a + 41 > 0, поэтому для каждой из трех частей нужно проверить значение выражения.

1) Подставляем a = -37: (-37)^2 + 36(-37) + 41 = 1369 - 1332 + 41 = 78 > 0

2) Подставляем a = 0: 0^2 + 36(0) + 41 = 41 > 0

3) Подставляем a = 1: 1^2 + 36(1) + 41 = 78 > 0

Во всех трех случаях значение выражения a^2 + 36a + 41 больше нуля, что доказывает исходное неравенство (a-6)^2 > -24a - 5.