Question

В классе из 25 учащихся 18 изучают английский язык, 15 — немецкий и 17 — французский. Для каждых двух языков найдётся ровно 5 учащихся, изучающих только эти два языка. Сколько учащихся изучают все три языка, если каждый учащийся изучал хотя бы один язык?

Answer 1

25+18+17=50 (можно разбить на 2 действия (если это требуется))
50:5=10
ответ 10 учащихся изучают все три языка

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. У нас есть информация о количестве учеников, изучающих каждый из трех языков (английский, немецкий, французский) и о количестве учеников, изучающих комбинации этих языков.

Из условия известно: - 18 учащихся изучают английский язык, - 15 учащихся изучают немецкий язык, - 17 учащихся изучают французский язык.

Также известно, что для каждых двух языков найдется ровно 5 учащихся, изучающих только эти два языка.

Чтобы определить количество учащихся, изучающих все три языка (английский, немецкий и французский), мы можем воспользоваться формулой для нахождения количества элементов в объединении множеств:

\[n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C),\]

где \(n(A)\), \(n(B)\) и \(n(C)\) обозначают количество учеников, изучающих каждый из языков (английский, немецкий, французский), \(n(A \cap B)\), \(n(B \cap C)\) и \(n(A \cap C)\) обозначают количество учеников, изучающих соответствующие комбинации языков, а \(n(A \cap B \cap C)\) обозначает количество учеников, изучающих все три языка.

Подставим известные значения: \[n(А \cup B \cup C) = 18 + 15 + 17 - 5 - 5 - 5 + n(A \cap B \cap C).\]

Теперь найдем количество учеников, изучающих все три языка: \[n(A \cap B \cap C) = 18 + 15 + 17 - 5 - 5 - 5 + n(A \cup B \cup C).\] \[n(A \cap B \cap C) = 40 - 15 + n(A \cup B \cup C).\]

Известно, что каждый учащийся изучал хотя бы один язык, поэтому \(n(A \cup B \cup C)\) равно общему количеству учеников, то есть 25.

Таким образом, \[n(A \cap B \cap C) = 40 - 15 + 25 = 50 - 15 = 35.\]

Итак, 35 учеников изучают все три языка (английский, немецкий и французский).