Question

Найдите наименьшее значение функции у=х^3-27х на отрезке [0;4]

Answer 1

Эта функция убывающая, потому что большому значению x соотвеьствует меньшее значение y: поэтоиу подставим место x 4 и получим:
y=4^3-27×4=64-108=-44

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции у = х³ - 27х на отрезке [0;4], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого нам нужно найти точки, где производная функции равна нулю, и затем проверить эти точки на экстремумы.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции у = х³ - 27х. Чтобы найти производную, возьмем производные каждого члена по отдельности и объединим их:

у' = (3х²) - 27

Нахождение точек, где производная равна нулю

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

0 = (3х²) - 27

Добавим 27 к обеим сторонам уравнения:

27 = 3х²

Разделим обе стороны на 3:

9 = х²

Возведем обе стороны в квадрат:

±√9 = ±х

Таким образом, получаем две точки, где производная равна нулю: х = -3 и х = 3.

Проверка точек на экстремумы

Для проверки, являются ли эти точки минимумами или максимумами, мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная положительна, то точка является минимумом, а если она отрицательна, то точка является максимумом.

Вычислим вторую производную функции:

у'' = 6х

Подставим найденные значения х = -3 и х = 3 в у'':

у''(-3) = 6 * (-3) = -18 у''(3) = 6 * 3 = 18

Таким образом, точка х = -3 является максимумом, а точка х = 3 является минимумом.

Нахождение наименьшего значения функции

Теперь мы можем найти наименьшее значение функции у = х³ - 27х, используя найденные точки минимума.

Подставим х = 3 в у:

у(3) = 3³ - 27 * 3 = 27 - 81 = -54

Таким образом, наименьшее значение функции у = х³ - 27х на отрезке [0;4] равно -54.