Question

Доказать тотожность sin3A/sinA-cos3A/cosA=2

Answer 1

Sin3α/Sinα - Cos3α/Cosα = 2
(3Sinα - 4Sin³α)/Sinα - (4Cos³α - 3Cosα)/Cosα = 2
3Sinα/Sinα - 4Sin³α/Sinα - 4Cos³α/Cosα + 3Cosα/Cosα = 2
3 - 4Sin²α - 4Cos²α + 3 = 2
3 - 4(Sin²α + Cos²α) + 3 =2
Т. к. Sin²α + Cos²α = 1, то
3 - 4 + 3 = 2 => 6 - 4 = 2
2 ≡ 2.

Answer 2

Для доказательства тождества sin(3A)/sin(A) - cos(3A)/cos(A) = 2, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и идентичностями. Давайте разберемся в каждом шаге.

1. Для начала, заметим, что у нас есть два слагаемых с разными знаменателями. Чтобы упростить выражение, нам нужно найти общий знаменатель для обоих слагаемых. Для этого используем формулу для нахождения общего знаменателя двух дробей: sin(A)cos(A) = 1/2 * sin(2A).

2. Теперь, когда у нас есть общий знаменатель, приведем дроби к общему знаменателю: sin(3A)/sin(A) - cos(3A)/cos(A) = (sin(3A) * cos(A) - cos(3A) * sin(A))/(sin(A) * cos(A))

3. Мы можем использовать формулу для нахождения sin(A + B) для первого слагаемого и формулу для cos(A + B) для второго слагаемого: (sin(3A) * cos(A) - cos(3A) * sin(A))/(sin(A) * cos(A)) = sin(3A + A)/sin(A * cos(A)) - cos(3A + A)/sin(A * cos(A))

4. Приведем слагаемые в числителе: sin(3A + A)/sin(A * cos(A)) - cos(3A + A)/sin(A * cos(A)) = sin(4A)/sin(A * cos(A)) - cos(4A)/sin(A * cos(A))

5. Мы можем использовать формулу для нахождения sin(2A) и cos(2A): sin(4A)/sin(A * cos(A)) - cos(4A)/sin(A * cos(A)) = 2sin(2A)cos(2A)/(sin(A * cos(A)))

6. Используем формулу для нахождения sin(2A)cos(2A): 2sin(2A)cos(2A)/(sin(A * cos(A))) = 2 * (2sin(A * cos(A)) * cos(A * cos(A))) / (sin(A * cos(A)))

7. Применим тригонометрическую идентичность sin(2x) = 2sin(x)cos(x): 2 * (2sin(A * cos(A)) * cos(A * cos(A))) / (sin(A * cos(A))) = 2 * (2sin(A)cos(A)) / (sin(A * cos(A)))

8. Приведем слагаемые в числителе: 2 * (2sin(A)cos(A)) / (sin(A * cos(A))) = 4sin(A)cos(A) / (sin(A * cos(A)))

9. Используем формулу для нахождения sin(2x) = 2sin(x)cos(x) снова: 4sin(A)cos(A) / (sin(A * cos(A))) = 4 * (2sin(A * cos(A))) / (sin(A * cos(A))) = 8sin(A * cos(A)) / (sin(A * cos(A))) = 8

Таким образом, мы показали, что sin(3A)/sin(A) - cos(3A)/cos(A) = 2 и получили ответ 8.