Question

На сколько следует уменьшить число 100, чтобы разность при делении на 5 и 7 в остатке имела 1, и неполное частное, полученное при первом делении, было бы на 4 единицы больше неполного частного, полученного при втором делении? РЕШИТЕ , СОСТАВИВ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ

Answer 1

Пусть х - число, на которое следует уменьшить 100 по заданию,
у - неполное частное, полученное при делении на 5;
z - неполное частное, полученное при делении на 7.

Получаем систему уравнений:
(100 - 1 - x) : 5 = y
(100 - 1 - x) : 7 = z
y - z = 4

(100 - 1 - x) : 5 - (100 - 1 - х) : 7 = 4
(99 - х) : 5 - (99 - х) : 7 = 4
7(99 - х) - 5(99 - х) = 4 * 5 * 7
(7 - 5)(99 - х) = 140
2(99 - х) = 140
99 - х = 140 : 2
99 - х = 70
х = 99 - 70
х = 29 - число, на которое следует уменьшить 100.

Ответ: 29. 

Answer 2

Предположим, что уменьшаемое число равно \(x\). Тогда, первое уравнение можно записать следующим образом:

\[ \begin{align*} &(x - k) \mod 5 = 1, \quad \text{(1)} \end{align*} \]

где \(k\) - это количество единиц, на которое нужно уменьшить число \(x\).

Второе уравнение можно записать так:

\[ \begin{align*} &(x \div 5 + 4) = (x - k) \div 7, \quad \text{(2)} \end{align*} \]

где \(x \div 5\) - неполное частное при делении на 5, \(x \div 7\) - неполное частное при делении на 7.

Теперь, давайте решим систему уравнений (1) и (2).

1. Из уравнения (1) получаем, что \(x - k = 5n + 1\), где \(n\) - некоторое целое число.

2. Подставим это выражение в уравнение (2):

\[ \begin{align*} &\frac{x - k}{5} + 4 = \frac{x - k}{7} \\ &\frac{(5n + 1)}{5} + 4 = \frac{(5n + 1)}{7} \\ &n + 4 = \frac{n + 1}{7} \\ &7n + 28 = n + 1 \\ &6n = -27 \\ &n = -\frac{9}{2} \end{align*} \]

Таким образом, получаем, что \(n = -\frac{9}{2}\). Это не является целым числом, и это может означать, что исходное предположение о существовании числа \(x\) не является верным.

Таким образом, задача, возможно, не имеет целочисленного решения. Если вы ищете целочисленное решение, то возможно, вам стоит пересмотреть условия задачи.