Question

Дан прямоугольный треугольник abc с прямым углом c. пусть bk-биссектриса этого треугольника. окружность, описанная около тругольника akb, пересекает вторично сторону bc в точке l. докажите, что cb+cl=ab

Answer 1

Опустим перпендикуляр KM на AB.  Тогда KM=KC и BM=CB, т.к. треугольники KMB и KCB равны,  Отрезки KA и KL равны, т.к. стягивают равные дуги (а дуги равны, т.к. BK - биссектриса). Значит треугольники KMА и KCL равны. Значит AM=CL, Значит AB=AM+BM=CL+CB, что и требовалось.

Answer 2

Для доказательства того, что $CB \cdot CL = AB$, мы можем использовать свойства окружностей и треугольников.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ с прямым углом в точке $C$. 2. Пусть $BK$ - биссектриса этого треугольника. 3. Окружность, описанная вокруг треугольника $AKB$, пересекает вторично сторону $BC$ в точке $L$.

Мы хотим доказать, что $CB \cdot CL = AB$.

4. Обратимся к свойству биссектрисы треугольника. По определению биссектрисы, отрезок $BK$ делит угол $ABC$ пополам. 5. Заметим, что треугольники $ABL$ и $CKL$ подобны по теореме об угле-противоположному углу. 6. Так как угол $ABL$ равен углу $CKL$, а угол $ALB$ равен углу $CLB$, то треугольники $ABL$ и $CKL$ равны по двум углам. 7. Таким образом, у них соответственно равны отношения сторон: $$ \frac{{AB}}{{BL}} = \frac{{CK}}{{CL}} \quad \text{и} \quad \frac{{AL}}{{AB}} = \frac{{CL}}{{CK}} $$ 8. Перепишем первое уравнение в виде: $$ AB \cdot CK = BL \cdot CL $$ 9. Заметим, что отрезок $CK$ является суммой отрезков $CB$ и $BK$. $$ CK = CB + BK $$ 10. Подставим это в уравнение: $$ AB \cdot (