Question

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 12, а сумма их квадратов равна 336. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Answer 1

Запишем условие в виде системы
b+bq+bq^2=12
b^2+b^2q^2+b^2q^4=336

вынесем множители
b(1+q+q^2)=12
b^2 (1+q^2+q^4)=336

преобразуем
b (q^3-1)/(q-1)=12
b^2 (q^6-1)/(q^2-1)=336

преобразуем последнее уравнение
b^2 (q^3-1)/(q-1) (q^3+1)/(q+1)=336

подставим первое уравнение во второе
b (q^3+1)/(q+1)×12=336
упростим
b (q^3+1)/(q+1)=28

преобразуем
28 (q+1)/(q^3+1)=12 (q-1)/(q^3-1)
введем ОДЗ q <>1 и q <>-1

преобразуем числитель разности дробей
28(q^2+q+1)=12 (q^2-q+1)

приведем подобные слагаемые
16q^2+40q+16=0

решим уравнение
q^2+2.5q+1=0
D= 6.25-4×1=2.25
q=(-2.5+1.5)/2=-0.5

q=(-2.5-1.5)/2=-2

найдем b для корня 1
(-8-1)/(-2-1)b=12
3b=12
b=4


найдем b для корня 2
(-0.125-1)/(-0.5-1)b=12

1.125/1.5b=13
9b/12=12
b=144/9

ответ 1 b=4 q=-2
ответ 2 b=144/9 q=-1/2

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через \(a\) и знаменатель через \(r\). Тогда первые три члена прогрессии будут равны \(a\), \(ar\) и \(ar^2\).

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 12, что можно записать уравнением:

\[a + ar + ar^2 = 12.\]

Также нам дано, что сумма квадратов этих членов равна 336:

\[a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 336.\]

Раскроем скобки в уравнении для суммы квадратов:

\[a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 336.\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} a + ar + ar^2 = 12 \\ a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 336 \end{cases}\]

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала поделим второе уравнение на \(a^2\):

\[1 + r^2 + r^4 = \frac{336}{a^2}.\]

Теперь выразим \(\frac{336}{a^2}\) через сумму трех членов прогрессии, используя первое уравнение:

\[1 + r^2 + r^4 = \frac{12^2}{a^2}.\]

Теперь мы получили уравнение только с переменной \(r\). Решим его:

\[r^4 + r^2 - 36 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(r^2\). Обозначим \(r^2\) через \(x\):

\[x^2 + x - 36 = 0.\]

Факторизуем:

\[(x + 9)(x - 4) = 0.\]

Отсюда получаем два возможных значения \(r^2\):

\[r^2 = -9 \quad \text{или} \quad r^2 = 4.\]

Так как знаменатель геометрической прогрессии не может быть отрицательным, мы отбросим значение -9. Таким образом, \(r^2 = 4\), что означает, что \(r = 2\) (так как \(r\) не может быть отрицательным).

Теперь, зная значение \(r\), подставим его в первое уравнение:

\[a + 2a + 4a = 12.\]

Сложим коэффициенты:

\[7a = 12.\]

Отсюда получаем:

\[a = \frac{12}{7}.\]

Таким образом, первый член прогрессии \(a\) равен \(\frac{12}{7}\), а знаменатель \(r\) равен 2.