Question

Плоскость альфа проходит через основание АД трапеции АВСД. М и N - середины боковых сторон трапеции. докажите, что МN// альфа. найдите АД, если ВС =4см MN=6 см

Answer 1

Если пряма параллельно какой-либо прямой,лежащей в плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости.
1) А  у нас MN||AD , AD⊂α ⇒MN||α
2) (BC + AD)/2 = MN
    (4 + AD)/2 = 6 ⇒ 4 + AD = 12 ⇒ AD = 8

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок MN параллелен плоскости α, давайте рассмотрим следующее:

1. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD — основания трапеции, а MN — отрезок, соединяющий середины боковых сторон AD и BC.

2. Так как M и N являются серединами соответствующих сторон, то отрезок MN будет параллелен основаниям трапеции AB и CD. Это следует из свойства прямой, соединяющей середины двух сторон трапеции, которая параллельна основаниям.

3. Теперь рассмотрим плоскость α, проходящую через основание AD трапеции ABCD.

4. Так как отрезок MN параллелен основанию AD, и плоскость α проходит через основание AD, то отрезок MN также параллелен плоскости α. Это следует из того, что любая прямая, параллельная одной из двух параллельных прямых в плоскости, также параллельна другой.

Таким образом, MN действительно параллелен плоскости α.

Теперь давайте найдем длину отрезка AD. Известно, что BC = 4 см и MN = 6 см.

Так как M и N — середины боковых сторон AD и BC соответственно, то AM = MD и BN = NC.

Теперь обозначим длину AD как x. Тогда MD = \( \frac{x}{2} \).

Из равенства треугольников BNM и CND следует, что:

\[ BN + MD + DC = NC + MD + DC \]

\[ 6 + \frac{x}{2} + 4 = \frac{x}{2} + 4 + DC \]

Упростим уравнение:

\[ 10 + \frac{x}{2} = \frac{x}{2} + 4 + DC \]

\[ 10 = 4 + DC \]

\[ DC = 6 \]

Таким образом, длина отрезка AD равна сумме длин BC и DC:

\[ AD = BC + DC = 4 + 6 = 10 \, \text{см} \]

Итак, мы доказали, что \( MN \) параллелен плоскости \( \alpha \) и нашли длину отрезка \( AD \), которая равна 10 см.