Question

Периметр рівнобедерного трикутника дорівнює 60 см, а його основа відноситься до бічної сторони як 6:7. Знайти сторони та площу трикутника.

Answer 1

Нехай сторона основи буде 6х см, а бічні сторони - 7х. Знайдемо сторону

P=a+2b, де а - сторона основи, b - бічна сторона

60=6x+2*7x
60=6x+14x
20x=60
x=60/20
x=3

Звідси, сторони рівнобедреного трикутника буде 6х=6*3=18 см; 7х=7*3=21 см

Висота проведена до основи, ділить основу навпіл 18/2 = 9 см, тоді
за теоремою Піфагора, знайдемо висоту

$h= \sqrt{21^2-9^2} =6 \sqrt{10}$

Знайдемо площу рівнобедреного трикутника

$S= \frac{a*h}{2} = \frac{18*6 \sqrt{10} }{2} =54 \sqrt{10}$

Відповідь: 18см; 21см; 21см; 54√10см².

Answer 2

Нехай b - довжина основи рівнобедреного трикутника, а l - довжина бічної сторони.

Згідно з умовою, ми знаємо, що периметр трикутника дорівнює 60 см. Периметр трикутника обчислюється за формулою:

\[ P = b + l + l, \]

де b - довжина основи, l - довжина бічної сторони.

Замінюємо відомі значення:

\[ 60 = b + l + l. \]

Також, за умовою задачі, відомо, що відношення основи до бічної сторони дорівнює 6:7. Це можна виразити рівнянням:

\[ \frac{b}{l} = \frac{6}{7}. \]

З цього рівняння можна виразити b:

\[ b = \frac{6}{7}l. \]

Тепер ми можемо підставити це значення b в рівняння периметру:

\[ 60 = \frac{6}{7}l + l + l. \]

Спростимо рівняння:

\[ 60 = \frac{20}{7}l. \]

Множимо обидві сторони на \(\frac{7}{20}\):

\[ l = \frac{7}{20} \times 60. \]

Розрахунок:

\[ l = 21. \]

Тепер, знаючи довжину бічної сторони, можемо знайти довжину основи:

\[ b = \frac{6}{7} \times 21 = 18. \]

Отже, довжина основи \(b = 18\) см, довжина бічної сторони \(l = 21\) см.

Тепер можемо знайти площу рівнобедреного трикутника, використовуючи формулу для площі трикутника:

\[ S = \frac{1}{2} \times b \times h, \]

де \( h \) - висота трикутника. В рівнобедреному трикутнику висота проведена з вершини, яка не є кутом при основі. Оскільки це рівнобедрений трикутник, то висота також розділить його на дві рівні частини. Таким чином, можна використовувати відоме відношення для висоти трикутника:

\[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}. \]

Підставимо відомі значення:

\[ h = \sqrt{21^2 - \left(\frac{18}{2}\right)^2}. \]

Розрахунок:

\[ h = \sqrt{441 - 81} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}. \]

Тепер можемо обчислити площу трикутника:

\[ S = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 18 \times 6\sqrt{10} = 54\sqrt{10} \, \text{см}^2. \]

Отже, сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють \(b = 18\) см, \(l = 21\) см, а його площа \(S = 54\sqrt{10} \, \text{см}^2\).