Question

Найти производную y=(кубический корень из x^2)/(ctg^2 x)

Answer 1

$y'=(\frac{\sqrt[3]{x^2}}{ctg^2x})'=\frac{ (\sqrt[3]{x^2})'\bullet ctg^2x- \sqrt[3]{x^2}\bullet (ctg^2x)' }{ctg^4x}=\\\\=\frac{\frac{2}{3}x^{(\frac{2}{3}-1)}\bullet ctg^2x- \sqrt[3]{x^2}\bullet 2ctgx\bullet (ctgx)' }{ctg^4x}=\\\\=\frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\bullet ctg^2x- \sqrt[3]{x^2}\bullet \frac{-2ctgx}{sin^2x} }{ctg^4x}=\frac{\frac{2ctgx}{3 \sqrt[3]{x} }- \frac{-2\sqrt[3]{x^2}}{sin^2x} }{ctg^3x}.$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = (кубический корень из x^2) / (ctg^2 x), мы можем использовать правило дифференцирования для частного функций.

Правило дифференцирования для частного функций:

Если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их частного равна:

(dy/dx) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

где u'(x) обозначает производную функции u(x) по переменной x, а v'(x) обозначает производную функции v(x) по переменной x.

Решение:

Давайте применим это правило к нашей функции y = (кубический корень из x^2) / (ctg^2 x).

Для начала, давайте найдем производные двух функций в числителе и знаменателе.

1. Найдем производную функции в числителе: u(x) = кубический корень из x^2.

Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования для функций, содержащих корень.

(u'(x)) = (1/3) * (x^2)^(-2/3) * (2x)

2. Найдем производную функции в знаменателе: v(x) = ctg^2 x.

Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования для функций, содержащих тангенс.

(v'(x)) = -2 * ctg x * cosec^2 x

Теперь, когда у нас есть производные функций в числителе и знаменателе, мы можем подставить их в формулу для производной частного функций:

(dy/dx) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

(dy/dx) = ((1/3) * (x^2)^(-2/3) * (2x) * (ctg^2 x) - (кубический корень из x^2) * (-2 * ctg x * cosec^2 x)) / ((ctg^2 x))^2

Это будет наша производная функции y по переменной x.