Question

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций: А) х^2×5^х Б)1/4х^4-1/3х^3-1/2х^2-х+5 В)х^3-3х/1-2х

Answer 1

Применены формулы дифференцирования

Answer 2

Производные функций

Для нахождения производных данных функций, воспользуемся формулами и правилами дифференцирования.

А) Функция: х^2 × 5^х

Для нахождения производной данной функции, воспользуемся правилом производной произведения функций и правилом дифференцирования степенной функции.

Правило производной произведения функций: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Правило дифференцирования степенной функции: (x^n)' = n * x^(n-1)

Производная функции х^2 × 5^х:

= (х^2)' × 5^х + х^2 × (5^х)' = 2х × 5^х + х^2 × (5^х)'

Теперь нам нужно найти производную функции 5^х. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции a^x, где "a" - константа.

Правило дифференцирования функции a^x: (a^x)' = ln(a) * a^x

Таким образом, (5^х)' = ln(5) * 5^х

Подставляя это обратно в нашу исходную формулу:

= 2х × 5^х + х^2 × ln(5) × 5^х

Таким образом, производная функции х^2 × 5^х равна 2х × 5^х + х^2 × ln(5) × 5^х.

Б) Функция: 1/4х^4 - 1/3х^3 - 1/2х^2 - х + 5

Для нахождения производной данной функции, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и разности функций, а также правилами дифференцирования степенной функции и константы.

Правило дифференцирования суммы и разности функций: (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)

Правило дифференцирования степенной функции: (x^n)' = n * x^(n-1)

Правило дифференцирования константы: (c)' = 0, где "c" - константа

Производная функции 1/4х^4 - 1/3х^3 - 1/2х^2 - х + 5:

= (1/4х^4)' - (1/3х^3)' - (1/2х^2)' - (х)' + (5)' = 1/4 * (х^4)' - 1/3 * (х^3)' - 1/2 * (х^2)' - (х)' + 0

Теперь найдём производные каждого слагаемого:

(х^4)' = 4х^3 (х^3)' = 3х^2 (х^2)' = 2х (х)' = 1

Подставляя все значения обратно в исходную формулу:

= 1/4 * 4х^3 - 1/3 * 3х^2 - 1/2 * 2х - 1

Упрощая выражение:

= х^3 - х^2 - х - 1

Таким образом, производная функции 1/4х^4 - 1/3х^3 - 1/2х^2 - х + 5 равна х^3 - х^2 - х - 1.

В) Функция: х^3 - 3х / (1 - 2х)

Для нахождения производной данной функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного функций и правилами дифференцирования степенной функции и константы.

Правило дифференцирования частного функций: (f(x) / g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2

Правило дифференцирования степенной функции: (x^n)' = n * x^(n-1)

Правило дифференцирования константы: (c)' = 0, где "c" - константа

Производная функции х^3 - 3х / (1 - 2х):

= ((х^3)'(1 - 2х) - (х^3)(1 - 2х)') / (1 - 2х)^2 = (3х^2(1 - 2х) - (х^3)(-2)) / (1 - 2х)^2 = (3х^2 - 6х^3 + 2х^3) / (1 - 2х)^2 = (3х^2 - 4х^3) / (1 - 2х)^2

Таким образом, производная функции х^3 - 3х / (1 - 2х) равна (3х^2 - 4х^3) / (1 - 2х)^2.

Надеюсь, эти подробные объяснения помогли вам. Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, задайте их!