Question

|x^2-x-5|+|x^2-x-9|=10

Answer 1

Сделаем замену x^2-x-5 = y
|y| + |y-4| = 10
1) Если y <0, то y-4 <0
-y + 4 - y = 10
y = -3 < 0 - подходит
x^2-x-5 = -3
x^2-x-2 = 0
(x+1)(x-2) = 0
x1=-1; x2=2

2) Если 0 <= y < 4, то
y + 4 - y = 10
4 = 10
Решений нет

3) Если y >= 4, то
y + y - 4 = 10
y = 7 > 4 - подходит
x^2-x-5 = 7
x^2-x-12 = 0
(x-4)(x+3) = 0
x3 = -3; x4 = 4
Ответ: -3; -1; 2; 4

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение более подробно.

\[ |x^2 - x - 5| + |x^2 - x - 9| = 10 \]

Первым шагом мы можем воспользоваться тем, что \( |a| = a \) при \( a \geq 0 \) и \( |a| = -a \) при \( a < 0 \). Также важно отметить, что \( |a| = |-a| \).

Разбиваем уравнение на четыре случая, учитывая эти свойства:

1. Если \( x^2 - x - 5 \geq 0 \) и \( x^2 - x - 9 \geq 0 \):

\[ (x^2 - x - 5) + (x^2 - x - 9) = 2x^2 - 2x - 14 = 10 \]

Упростим уравнение:

\[ 2x^2 - 2x - 14 = 10 \]

\[ 2x^2 - 2x - 24 = 0 \]

\[ x^2 - x - 12 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его:

\[ (x - 4)(x + 3) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \( x = 4 \) и \( x = -3 \).

2. Если \( x^2 - x - 5 < 0 \) и \( x^2 - x - 9 \geq 0 \):

\[ -(x^2 - x - 5) + (x^2 - x - 9) = 2x^2 - 2x - 4 = 10 \]

Это уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда будет отрицательной.

3. Если \( x^2 - x - 5 \geq 0 \) и \( x^2 - x - 9 < 0 \):

\[ (x^2 - x - 5) - (x^2 - x - 9) = -4 \]

Это уравнение также не имеет решений, так как левая часть не может быть равной 10.

4. Если \( x^2 - x - 5 < 0 \) и \( x^2 - x - 9 < 0 \):

\[ -(x^2 - x - 5) - (x^2 - x - 9) = -2x^2 + 2x + 14 = 10 \]

Упростим:

\[ -2x^2 + 2x + 4 = 0 \]

\[ -x^2 + x + 2 = 0 \]

\[ -(x - 2)(x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).

Итак, у уравнения \( |x^2 - x - 5| + |x^2 - x - 9| = 10 \) есть четыре решения: \( x = 4, -3, 2, -1 \).