Question

Y''-6y'+9y=(3x-8) найти общее решение. Помогите плиз

Answer 1

$y''-6y'+9y=(3x-8)\\\lambda^2-6\lambda+9=0\\(\lambda-3)^2=0\\\lambda_{1,2}=3\\Y=C_1e^{3x}+xC_2e^{3x}\\\hat{y}=Ax+B\\\hat{y}'=A\\\hat{y}''=0\\-6A+9Ax+9B=3x-8\\x|9A=3=\ \textgreater \ A=\frac{1}{3}\\x^0|-6A+9B=-8=\ \textgreater \ B=-\frac{2}{3}\\\hat{y}=\frac{x-2}{3}\\y=Y+\hat{y}=C_1e^{3x}+xC_2e^{3x}+\frac{x-2}{3}$

Answer 2

Да, конечно! Давайте решим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

\[ Y'' - 6Y' + 9Y = 3x - 8 \]

Сначала найдем характеристическое уравнение, используя предположение о решении в виде \( Y = e^{rx} \):

\[ r^2 - 6r + 9 = 0 \]

Это уравнение имеет корень кратности 2, и он равен 3. Таким образом, характеристическое уравнение может быть записано как:

\[ (r - 3)^2 = 0 \]

Решение этого уравнения:

\[ r = 3 \]

Поскольку корень кратности 2, общее решение будет иметь вид:

\[ Y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x} \]

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид \( Y_p = Ax + B \), где \( A \) и \( B \) - неопределенные коэффициенты.

Подставим это в неоднородное уравнение:

\[ Y'' - 6Y' + 9Y = 3x - 8 \]

\[ 0 - 0 + 9(Ax + B) - 6(A) + 0 = 3x - 8 \]

Упростим:

\[ 9Ax + 9B - 6A = 3x - 8 \]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \( x \), получаем систему уравнений:

\[ 9A = 3 \] \[ 9B - 6A = -8 \]

Решая эту систему, находим, что \( A = 1/3 \) и \( B = -2/3 \). Таким образом, частное решение:

\[ Y_p = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \]

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения:

\[ Y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x} + \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные постоянные.