Question

Цилиндрический сосуд с радиусом основания 50 см наполовину наполнен водой. В сосуд бросили металлический шар радиусом 30 см, который полностью погрузился в воду. На сколько сантиметров поднялся уровень воды в сосуде

Answer 1

понятно, что объём шара = 4/3*Pi*30 в кубе= 36000*Pi. Именно настолько увеличился объём содержимого в цилиндре с радиусом основания 50 см (вода+шар). Представим цилиндр с радиусом основания 50 см при этом равный по объёму погруженному шару, т.е. 36000Pi. теперь легко найти высоту данного предполагаемого цилиндра: V=Pi * R (в квадрате)* h, отсюда h=V/(Pi*50*50). если V=36000*Pi, то h=(36000*Pi)/(250*Pi)=14,4 см. Ответ: уровень воды поднялся на 14,4 см.

 

ещё проще:

 

представим, что мы наливаем воду в ПУСТОЙ цилиндрический сосуд с радиусом 50 см из шара с радиусом 30 см. На какую высоту заполнится цилиндрический сосуд, это и будет решением. Объём шара = 4/3*Pi*30*30*30=36000Pi, объём цилиндра = Pi*50*50*h (h-высота). т.к. объёмы шара и цилиндра равны, имеем уравнение 36000Pi=250Pi*h. решаем, и h=14.4 см.Ответ: уровень воды поднялся на 14,4 см.(сколько бы воды ни было в цилиндре изначально)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом Архимеда, который гласит, что поднимающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу вытесненной этой жидкости.

Пусть \( h \) - это величина поднятия уровня воды в сосуде после погружения шара.

Объем воды в сосуде до погружения шара можно выразить формулой для объема цилиндра:

\[ V_{\text{до}} = \pi r_{\text{осн}}^2 h_{\text{до}} \]

где \( r_{\text{осн}} \) - радиус основания цилиндра, \( h_{\text{до}} \) - высота воды до погружения шара.

Объем воды в сосуде после погружения шара можно выразить формулой для объема цилиндра плюс объем шара:

\[ V_{\text{после}} = \pi r_{\text{осн}}^2 (h_{\text{до}} + h) + \frac{4}{3}\pi r_{\text{шар}}^3 \]

где \( r_{\text{шар}} \) - радиус шара.

Поскольку объем воды в сосуде не изменяется, то объем до погружения равен объему после:

\[ V_{\text{до}} = V_{\text{после}} \]

\[ \pi r_{\text{осн}}^2 h_{\text{до}} = \pi r_{\text{осн}}^2 (h_{\text{до}} + h) + \frac{4}{3}\pi r_{\text{шар}}^3 \]

Отсюда мы можем выразить величину поднятия уровня воды \( h \):

\[ h = \frac{\pi r_{\text{шар}}^3}{\pi r_{\text{осн}}^2} - h_{\text{до}} \]

Теперь мы можем подставить известные значения:

\[ h = \frac{\pi \cdot (30 \, \text{см})^3}{\pi \cdot (50 \, \text{см})^2} - \frac{1}{2}h_{\text{до}} \]

\[ h \approx \frac{270000 \pi}{125000} - \frac{1}{2}h_{\text{до}} \]

\[ h \approx 2.16 - \frac{1}{2}h_{\text{до}} \]

Таким образом, уровень воды поднимется примерно на \( 2.16 \, \text{см} - \frac{1}{2}h_{\text{до}} \).