Question

Расстояние между пунктами 200 км. Если из этих пунктов одновременно на встречу друг другу выедут автомобиль и мотоцикл,то они встретятся через 2 ч. Если из этих пунктов одновременно в одном направлении выедут автомобиль и мотоцикл ,то автомобиль догонит мотоцикл через 5 ч. Найдите скорость автомобиля и скорость мотоцикла.

Answer 1

Х км/ч - скорость автомобиляу км/ч - скорость мотоцикла(х+у)км/ч - скорость сближения при движении навстречу(х-у)км/ч - скорость сближения при движении друг за другом(расстояние между ними 200км) х+у=200:2х+у=100х=100-у 5(х-у)=200:55х-5у=40х-у=8х=8+уВыразим у через х100-у=8+у2у=92у=46(км/ч) - скорость мотоциклиста46+8=54(км/ч) - скорость автомобиля

Answer 2

Давайте обозначим скорость автомобиля через \( V_a \) и скорость мотоцикла через \( V_m \).

Когда они двигаются друг навстречу другу, их скорости складываются, и расстояние делится на их суммарную скорость: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Суммарная скорость}} \] \[ 2 = \frac{200}{V_a + V_m} \]

Когда они двигаются в одном направлении, автомобиль догоняет мотоцикл через 5 часов, и тут расстояние делится на разницу их скоростей: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Разница скоростей}} \] \[ 5 = \frac{200}{V_a - V_m} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: \[ \begin{cases} 2 = \frac{200}{V_a + V_m} \\ 5 = \frac{200}{V_a - V_m} \end{cases} \]

Для решения этой системы умножим оба уравнения на \( \frac{1}{2} \), чтобы избавиться от дробей: \[ \begin{cases} 1 = \frac{100}{V_a + V_m} \\ 2.5 = \frac{200}{V_a - V_m} \end{cases} \]

Теперь умножим оба уравнения на \( V_a + V_m \) и \( V_a - V_m \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ \begin{cases} V_a + V_m = 100 \\ 2.5(V_a - V_m) = 200 \end{cases} \]

Разделим второе уравнение на 2.5: \[ V_a - V_m = 80 \]

Теперь у нас есть система линейных уравнений: \[ \begin{cases} V_a + V_m = 100 \\ V_a - V_m = 80 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения: \[ 2V_a = 180 \]

Разделим оба уравнения на 2: \[ V_a = 90 \]

Теперь мы знаем скорость автомобиля \( V_a \). Подставим этот результат в одно из начальных уравнений, например, в первое: \[ 2 = \frac{200}{90 + V_m} \]

Умножим оба уравнения на \( 90 + V_m \): \[ 2(90 + V_m) = 200 \]

Раскроем скобки: \[ 180 + 2V_m = 200 \]

Выразим \( V_m \): \[ 2V_m = 20 \]

Разделим оба уравнения на 2: \[ V_m = 10 \]

Итак, скорость автомобиля \( V_a = 90 \) км/ч, а скорость мотоцикла \( V_m = 10 \) км/ч.