Question

. Найдите область значения функции y=sinx+cosx. а) (0;2); в) (-2;2); б) (0; √2); г)(-√2;√2)

Answer 1

$-1 \leq cosx \leq 1$

$sinx+cosx=sinx+sin(\frac{\pi}{2}-x)=\sqrt2cos(x-\frac{\pi}{4})$

$-\sqrt2 \leq \sqrt2cos(x-\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt2$

Answer 2

Конечно, область значений функции \(y = \sin(x) \cdot \cos(x)\) может быть найдена, рассматривая возможные значения этого произведения для \(x\) в заданных интервалах.

а) \( (0; 2) \): Здесь \(x\) находится между \(0\) и \(2\). Если посмотреть на значения синуса и косинуса в этом интервале, то можно заметить, что синус и косинус изменяются от \(0\) до \(1\) (в пределах интервала \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\)). Таким образом, их произведение, \(y = \sin(x) \cdot \cos(x)\), будет изменяться от \(0\) до \(\frac{1}{2}\) (максимальное значение при \(x = \frac{\pi}{4}\)).

б) \( (-2; 2) \): В этом интервале значения синуса и косинуса также изменяются от \(-1\) до \(1\). Значит, их произведение, \(y = \sin(x) \cdot \cos(x)\), будет изменяться от \(-1\) до \(\frac{1}{2}\) (минимальное значение при \(x = \frac{3\pi}{4}\)).

в) \( (0; \sqrt{2}) \): Значения синуса и косинуса в этом интервале также изменяются от \(0\) до \(1\), их произведение, \(y = \sin(x) \cdot \cos(x)\), будет изменяться от \(0\) до \(\frac{1}{2}\).

г) \( (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \): Этот интервал включает отрицательные значения. Значения синуса и косинуса будут изменяться от \(-1\) до \(1\). Следовательно, их произведение, \(y = \sin(x) \cdot \cos(x)\), будет изменяться от \(-1\) до \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, область значений функции \(y = \sin(x) \cdot \cos(x)\) для всех указанных интервалов \(a\), \(b\), \(в\), \(г\) является \([-1, \frac{1}{2}]\).