Question

Сколько существует прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, таких что круг радиуса 1/2 с центром (18;16) попадает внутрь каждого из них, абсциссы вершин — натуральные числа, меньшие 26, а ординаты вершин — натуральные числа, меньшие 34?

Answer 1

С этой задачей творится что-то непонятное.
Радиус круга равен то 1/2, то 12.
Говорю сразу: если радиус 12, то прямоугольников нет ни одного.
Потому что круг вписан в квадрат A(6, 4), B(6, 28), C(30, 4), D(30, 28).
Правая сторона квадрата имеет абсциссу 30 > 26, поэтому все прямоугольники в указанных пределах будут или пересекаться с кругом, или вообще находиться снаружи.
Если же радиус 1/2, то круг вписан в квадрат
A(17,5; 15,5) B(17,5; 16,5) C(18,5; 15,5) D(18,5; 16,5)
У прямоугольников абсциссы от 1 до 26, ординаты от 1 до 34.
Левая сторона может занимать 17 разных положений, от 1 до 17.
Правая сторона может занимать 8 положений от 19 до 26.
Нижняя сторона может занимать 15 положений от 1 до 15.
Верхняя сторона может занимать 18 положений от 17 до 34.
Всего получается 17*8*15*18 = 36720 прямоугольников.

Answer 2

Calculation of Rectangles with a Circle Inside

To determine the number of rectangles with sides parallel to the coordinate axes, such that a circle with a radius of 1/2 and center (18, 16) is inside each of them, we need to consider the range of the x and y coordinates of the vertices.

The x-coordinate of the center of the circle is 18, and the y-coordinate is 16. The radius of the circle is 1/2. Therefore, the x-coordinate of the leftmost vertex of the rectangle will be 18 - 1/2 = 17.5, and the x-coordinate of the rightmost vertex will be 18 + 1/2 = 18.5. Similarly, the y-coordinate of the bottom vertex will be 16 - 1/2 = 15.5, and the y-coordinate of the top vertex will be 16 + 1/2 = 16.5.

Since the coordinates of the vertices must be natural numbers less than 26 for the x-coordinate and less than 34 for the y-coordinate, we need to find the number of natural numbers within the range [17.5, 18.5] for the x-coordinate and within the range [15.5, 16.5] for the y-coordinate.

Calculation for x-coordinate:

The natural numbers within the range [17.5, 18.5] are 18 and 19.

Calculation for y-coordinate:

The natural numbers within the range [15.5, 16.5] are 16.

Therefore, there are 2 possible values for the x-coordinate and 1 possible value for the y-coordinate.

To calculate the total number of rectangles, we multiply the number of possible values for the x-coordinate by the number of possible values for the y-coordinate:

2 * 1 = 2

Hence, there are 2 rectangles with sides parallel to the coordinate axes, such that a circle with a radius of 1/2 and center (18, 16) is inside each of them.

Please let me know if you need any further clarification or assistance!