Question

Общим решением дифференциального уравнения sinxdx+cosydy=0 является

Answer 1

Cosy dy = - sinx dx
∫ cosy dy =  - ∫  sinx dx 
siny = cosx + C
y = arcsin (cosx + C) 
--------------------------------------

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение, sin(x) dx + cos(y) dy = 0, является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения следует разделить дифференциалы переменных и проинтегрировать обе части уравнения.

Давайте рассмотрим процесс решения более подробно:

1. Разделяем переменные: Переносим одно слагаемое на левую сторону уравнения, а другое на правую сторону. Получаем уравнение вида sin(x) dx = -cos(y) dy.

2. Интегрируем обе части уравнения: Интегрируем левую и правую части по соответствующим переменным. Получаем ∫ sin(x) dx = ∫ -cos(y) dy.

Для интегрирования левой части уравнения, мы можем использовать интеграл от синуса, который равен -cos(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Для интегрирования правой части уравнения, мы можем использовать интеграл от минус косинуса, который равен sin(y) + C2, где C2 - произвольная постоянная.

3. Итак, после интегрирования получаем -cos(x) + C1 = sin(y) + C2.

Мы можем объединить произвольные постоянные в одну константу, назовем ее C, и переписать уравнение в виде -cos(x) = sin(y) + C.

4. Чтобы найти явное решение, нужно решить уравнение относительно одной из переменных. В данном случае, давайте решим его относительно y.

Переносим sin(y) на левую сторону уравнения и перепишем его в виде sin(y) = -cos(x) - C.

Теперь мы можем применить функцию arcsin к обеим сторонам уравнения, чтобы найти значение y: y = arcsin(-cos(x) - C).

Здесь arcsin - обратная функция синуса, которая возвращает угол, значение синуса которого равно данному числу.

Таким образом, общим решением дифференциального уравнения sin(x) dx + cos(y) dy = 0 является y = arcsin(-cos(x) - C), где C - произвольная постоянная.