Question

Помогитеее!! Нужно построить график и сделать полное исследование функции y=x -2lg x

Answer 1

1) экстремумы, промежутки возрастания убывания
y'=1-1/(x ln10)
y'=0
y'=(xln10-1)/xln10=0
xln10-1=0
x=1/ln10
при х<1/ln10 y'<0 функция убывает
при х>1/ln10 y'>0 функция возрастает
в точке с абсциссой х=1/ln10 минимум
2) вогнутость, выпуклость
y''= -(1/ln10)*(1/x)'=(1/ln10)(1/x²) >0 ⇒ график вогнутый вниз
3) ассимптоты
lim(x-2lgx)=+∞ 
x->0 
x=0 вертикальная асимптота
3) контрольные точки
минимум
х=1/ln10≈0,4  , y=0,4-2*lg0,4≈1,2

x=10, y=10-2=8

Answer 2

Для начала, мы можем начать с определения области определения функции. Функция y = x - 2lg(x) определена только для положительных значений x, так как логарифм отрицательного числа не определен.

Теперь давайте проанализируем поведение функции при различных значениях x.

1. Лимиты: а) При x -> 0, lg(x) стремится к -∞, поэтому y = x - 2lg(x) стремится к +∞. б) При x -> ∞, lg(x) стремится к +∞, поэтому y = x - 2lg(x) стремится к -∞.

2. Производная: y' = 1 - 2/xln(10)

Для нахождения экстремумов функции, мы должны решить уравнение y' = 0: 1 - 2/xln(10) = 0 2/xln(10) = 1 x = 2ln(10)

Теперь мы можем построить график функции, используя полученные данные:

- На оси x откладываем значения от 0 до 2ln(10), так как функция определена только для положительных значений x. - На оси y откладываем значения от -∞ до +∞.

- При x = 0, y = +∞. - При x = 2ln(10), y = 2ln(10) - 2lg(2ln(10)). - При x -> ∞, y стремится к -∞.

Теперь мы можем провести полное исследование функции:

1. Область определения: x > 0. 2. Область значений: (-∞, +∞). 3. Симметрия: функция не обладает ни четной, ни нечетной симметрией. 4. Поведение на концах интервала: при x -> 0, y -> +∞, при x -> ∞, y -> -∞. 5. Экстремумы: функция имеет экстремум в точке x = 2ln(10). 6. Монотонность: функция возрастает на интервале (0, 2ln(10)) и убывает на интервале (2ln(10), +∞). 7. Асимптоты: горизонтальная асимптота y = -2ln(10) при x -> ∞. 8. Интервалы знакопостоянства: функция положительна на интервале (0, 2ln(10)) и отрицательна на интервале (2ln(10), +∞).

Таким образом, мы провели полное исследование функции y = x - 2lg(x) и построили ее график.