Question

Привет друзья, у меня проблемка ;( Изучаю новую тему и не могу разобраться.(Решение тригонометрических уравнений) Дали пример. Хочу понять как решается. Помогите разобраться, распишите всё по пунктам. Буду очень благодарен. Итак пример : 5 cos^2 х + 6 sin х - 6 = 0. Я понял что в конце нужно решить квадратное уравнение, но начальный этап не понял((

Answer 1

Основное тригонометрическое : cos^2 x+sin^2x=1 5cos^2x=5(1-sin^2x)=5-5sin^2x ; получим 5-5sin^2x+6 sinx -6=0 Теперь sinx =t -5t^2+6t-1=0 t1=1/5 t2=1 дальше переходи к sinx от t

Answer 2

Привет! Я буду рад помочь тебе разобраться с решением тригонометрических уравнений. Давай разберемся с примером, который ты привел: 5 cos^2(x) + 6 sin(x) - 6 = 0.

Шаг 1: Приведение уравнения к одной тригонометрической функции

Первым шагом мы хотим привести уравнение к одной тригонометрической функции. В данном случае мы видим, что у нас есть cos^2(x) и sin(x), поэтому мы можем воспользоваться тригонометрической тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Мы можем заменить cos^2(x) в уравнении на 1 - sin^2(x), чтобы получить уравнение только с одной тригонометрической функцией:

5(1 - sin^2(x)) + 6sin(x) - 6 = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение с одной переменной sin(x). Чтобы решить его, давайте представим его в виде обычного квадратного уравнения:

5 - 5sin^2(x) + 6sin(x) - 6 = 0.

Теперь перенесем все члены в одну сторону и получим:

-5sin^2(x) + 6sin(x) - 1 = 0.

Так как это квадратное уравнение, давайте назовем sin(x) как нашу переменную, например, пусть u = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

-5u^2 + 6u - 1 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью стандартных методов, например, используя квадратное уравнение, факторизацию или формулу дискриминанта.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Давайте воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти значения переменной u:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac, где a = -5, b = 6 и c = -1.

Подставим эти значения в формулу и найдем дискриминант:

D = 6^2 - 4(-5)(-1) = 36 - 20 = 16.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня для нашего квадратного уравнения.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

u = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения a, b и D:

u = (-6 ± √16) / (2(-5)).

Разложим это уравнение на два отдельных уравнения:

1) u = (-6 + √16) / (2(-5)). 2) u = (-6 - √16) / (2(-5)).

Выполняя вычисления, мы получим два значения для u:

1) u = (1/5). 2) u = (-1).

Шаг 4: Нахождение значений x

Теперь, когда у нас есть значения для переменной u, мы можем найти значения для sin(x) с помощью обратной функции sin^-1:

1) sin(x) = (1/5). 2) sin(x) = (-1).

Для первого уравнения, мы можем найти значения x, применяя sin^-1 к обоим сторонам:

x = sin^-1(1/5).

Аналогично, для второго уравнения:

x = sin^-1(-1).

Теперь, чтобы получить все значения x, мы должны учесть, что sin(x) - синус является периодической функцией и имеет множество значений в каждом периоде. Поэтому у нас могут быть и другие решения, которые находятся вне диапазона от (-1, 1).

Заключение

Надеюсь, что эта пошаговая инструкция помогла тебе понять, как решать тригонометрические уравнения. Если у тебя остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйся задавать. Я готов помочь!