Question

составьте уравнение касательной к графику функции f(x), проходящей через точку М(2,-1), не принадлежащую данному графику f(x)=x^2-4

Answer 1

$x_0 -$ абсцисса точки касания

$f(x_0)=x_0^2-4\\f'(x)=2x\Rightarrow f'(x_0)=2x_0$

Общее уравнение касательной:
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 

Подставляем производные в точке, получаем:

$y=x_0^2-4+2x_0(x-x_0)$

Так как прямая проходит через точку М(2, -1), то

$-1=x_0^2-4+2x_0(2-x_0)\\x_0^2-4+4x_0-2x_0^2+1=0\\x_0^2-4x_0+3=0\\D=16-12=4\\x_1=\frac{4+2}2=3\\x_2=\frac{4-2}2=1$

Имеем 2 абсциссы точек касания, значит, касательных будет две.

Координаты точек касания A(3, 5), B(1, -3).

Уравнения касательных имеют вид

$A(3,5)\rightarrow y=6x-13\\B(1,-3)\rightarrow y=2x-5$

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции f(x), проходящей через точку М(2,-1), не принадлежащую данному графику f(x)=x^2-4, мы можем использовать производную функции в точке М.

Нахождение производной функции:

Для функции f(x)=x^2-4, найдем ее производную. Производная функции представляет собой скорость изменения функции в каждой точке.

f'(x) = 2x

Нахождение значения производной в точке М:

Для нахождения значения производной в точке М(2,-1), подставим x=2 в выражение для производной:

f'(2) = 2 * 2 = 4

Составление уравнения касательной:

Так как значение производной в точке М равно 4, уравнение касательной будет иметь вид y = mx + c, где m - значение производной в точке М, а c - значение y в точке М.

Зная, что М(2,-1), мы можем заменить x и y в уравнении касательной:

-1 = 4 * 2 + c

Упростив это уравнение, получим:

-1 = 8 + c

Выразим c:

c = -1 - 8

c = -9

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2-4, проходящей через точку М(2,-1), не принадлежащую данному графику, будет иметь вид:

y = 4x - 9