Question

Доказать,что в трапеции разница оснований больше суммы боковых сторон

Answer 1

Если трапеция описана около окружности, то суммы ее противоположных сторон равны.

Answer 2

Пусть у нас есть трапеция с основаниями \(a\) и \(b\) (где \(a > b\)) и боковыми сторонами \(c\) и \(d\). Нам нужно доказать, что разница между основаниями больше суммы боковых сторон:

\[a - b > c + d\]

Рассмотрим трапецию и её свойства. Трапеция — это четырехугольник с двумя параллельными сторонами (основаниями) и двумя непараллельными сторонами (боковыми сторонами).

Мы можем использовать свойства треугольников и параллельных линий для доказательства данного утверждения. Рассмотрим два треугольника, образованных боковыми сторонами и отрезком между параллельными основаниями:

1. Пусть \(h\) — расстояние между параллельными сторонами (высота трапеции). 2. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной \(c\), высотой \(h\) и отрезком между основаниями \(a\) и \(b\). 3. Рассмотрим также треугольник, образованный боковой стороной \(d\), высотой \(h\) и отрезком между основаниями \(a\) и \(b\).

Из свойств треугольников мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Таким образом, для первого треугольника:

\[c + h > a - b\]

И для второго треугольника:

\[d + h > a - b\]

Теперь сложим оба неравенства:

\[(c + h) + (d + h) > 2(a - b)\]

Упростим:

\[c + d + 2h > 2a - 2b\]

Разделим обе стороны неравенства на 2:

\[\frac{c + d}{2} + h > a - b\]

Но \(\frac{c + d}{2}\) — это среднее арифметическое боковых сторон \(c\) и \(d\). Поэтому мы можем заменить \(\frac{c + d}{2}\) на \(m\), где \(m\) — среднее арифметическое боковых сторон:

\[m + h > a - b\]

Теперь у нас есть неравенство, которое доказывает, что разница между основаниями трапеции больше суммы боковых сторон:

\[a - b > m + h\]

Таким образом, мы доказали утверждение:

\[a - b > c + d\]

что и требовалось доказать.