Question

Найти общее решение: y``-6y`+10y=51e^-x

Answer 1

1)  Составляем характеристическое ур-е к однородной части 
('y''- 6y'+10=0)  данного уравнения^
л² - 6л +10 = 0
D =36 -40 = -4;    √D=+-2i
л1 =( 6-2i)/2=3-i;    л2=(6+2i)/2 =3+i (cопряжённые комплексные корни)
   Общее решение: y=e^(3x) *(C1*соsx+С2*sinx)
Частное решение ищем в виде:
yh = Ae^( - x)
yh' = - Ae^(-x) - первая производная
yh'' = Ae^(-x) - вторая
Подставляем yh и полученные производные в неоднородное уравнение:
Ae^-x +6Ae^-x +10Ae^-x =51e^x
17*A*e^-x = 51e^x
A=3   Частное решение: yh = 3e^-x
Общее решение: у = e^(3x)(C1*cosx +C2*sinx) + 3e^-x

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, сначала найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 6r + 10 = 0

Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(10) = 36 - 40 = -4

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня:

r1 = (6 + √(-4))/2 = 3 + 2i r2 = (6 - √(-4))/2 = 3 - 2i

Таким образом, общее решение характеристического уравнения имеет вид:

y_h = C1 * e^(3x) * cos(2x) + C2 * e^(3x) * sin(2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = A * e^(-x)

Подставим это предположение в исходное уравнение:

y`` - 6y` + 10y = 51e^(-x)

(A * e^(-x))`` - 6(A * e^(-x))` + 10(A * e^(-x)) = 51e^(-x)

A * (-e^(-x)) - 6(A * (-e^(-x))) + 10(A * e^(-x)) = 51e^(-x)

-Ae^(-x) + 6Ae^(-x) + 10Ae^(-x) = 51e^(-x)

15Ae^(-x) = 51e^(-x)

15A = 51

A = 51/15 = 17/5

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = (17/5) * e^(-x)

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y = y_h + y_p

y = C1 * e^(3x) * cos(2x) + C2 * e^(3x) * sin(2x) + (17/5) * e^(-x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.