Question

Помогите пожалуйста с решением интеграла ∫sinxdx/cosx^5

Answer 1

Int[(sin(x) /cos^5(x))dx] =
=вносим синус под знак дифференциала, а косинус записываем в -5 степени=-int[cos^(-5)(x) d(cos(x))]=-(cos^(-4)(x))/(-4)+С=1/(4соs^4(x))+C, где С- постоянная

Answer 2

$\int \frac{sinx}{cos^{5}x}dx= \int cos^{-5}xsinxdx= \int -cos^{-5}d(cosx)=$
$= -\frac{cos^{-4}x}{-4}+c= \frac{1}{4}cos ^{-4}x+c$

Answer 3

Конечно, интеграл \(\int \frac{\sin(x)}{\cos^5(x)} \, dx\) можно решить с помощью метода замены переменной.

Для начала представим интеграл в виде:

\(\int \frac{\sin(x)}{\cos^5(x)} \, dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos^4(x) \cdot \cos(x)} \, dx\)

Далее проведем замену переменной, предположив \(u = \cos(x)\). Тогда \(du = -\sin(x) \, dx\).

Интеграл примет вид:

\(-\int \frac{1}{u^4} \, du\)

Теперь проинтегрируем выражение:

\(-\int \frac{1}{u^4} \, du = -\frac{1}{-3u^3} + C = \frac{1}{3u^3} + C\)

Вспомним, что \(u = \cos(x)\):

\(\frac{1}{3u^3} + C = \frac{1}{3\cos^3(x)} + C\)

Таким образом, окончательный ответ на данный интеграл:

\(\int \frac{\sin(x)}{\cos^5(x)} \, dx = \frac{1}{3\cos^3(x)} + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования.