Question

2sin`2 2x = 9sin 2x - 4

Answer 1

$2sin^{2}2x=9sin2x-4 \\ 2sin^{2}2x-9sin2x+4=0 \\ 2t^{2} -9t+4=0 \\ D=b^{2} -4ac \\ D=9^{2}-4*2*4 =49 \\ t_{1}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{9+7}{4}=4 \\ t_{2} = \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{9-7}{4}= \frac{1}{2} \\ sin2x= \frac{1}{2} \\ 2x=(-1)^{n} *arcsin \frac{1}{2} + \pi n \\ 2x=(-1)^{n} * \frac{ \pi }{6} + \pi n \\ x= \frac{(-1)^{n}* \frac{ \pi }{6}+ \frac{ \pi n}{2} }{2}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрическую замену, чтобы привести его к более простому виду. Пусть u = sin(2x), тогда уравнение примет вид:

2u^2 + 2u = 9u - 4

Теперь мы можем привести уравнение к квадратному виду, собрав все слагаемые в одну сторону:

2u^2 - 7u + 4 = 0

Затем мы можем решить это квадратное уравнение, используя методы факторизации или квадратного корня:

(2u - 1)(u - 4) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для u:

2u - 1 = 0 => u = 1/2 u - 4 = 0 => u = 4

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x, используя нашу тригонометрическую замену:

sin(2x) = 1/2 или sin(2x) = 4

Для первого уравнения, мы можем использовать обратную функцию синуса:

2x = arcsin(1/2) = π/6 + 2πn или 5π/6 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, x = (π/6 + 2πn)/2 или (5π/6 + 2πn)/2

Для второго уравнения, мы не можем использовать обратную функцию синуса, так как значение sin(2x) не может быть больше 1. Это означает, что второе уравнение не имеет решений.

Итак, решениями исходного уравнения 2sin^2(2x) + 2sin(2x) = 9sin(2x) - 4 являются x = (π/6 + 2πn)/2 или (5π/6 + 2πn)/2, где n - целое число.