Question

Вычислить производную функции: y=x arccos(x/2)- √4-x^2

Answer 1

Y`=arccos(x/2)+x*(-1/√(1-x²/4)*1/2- (-2x)/2√(4-x²)=arccos(x/2) -2x/2√(4-x²)+x/√(4-x²)=
=arccos(x/2)-x/√(4-x²)+x/√(4-x²)=arccos(x/2)

Answer 2

Чтобы вычислить производную функции, данной в вашем вопросе, нам потребуется использовать несколько правил дифференцирования. Давайте разобьем функцию на несколько составляющих и вычислим производные по отдельности.

Вычисление производной x:

Производная переменной x равна 1, так как x не зависит от других переменных.

d/dx (x) = 1

Вычисление производной arccos(x/2):

Для вычисления производной арккосинуса, мы можем использовать цепное правило дифференцирования. Правило состоит в том, что производная функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).

Для функции arccos(x/2) внешняя функция - arccos(x), а внутренняя функция - x/2.

Производная внешней функции arccos(x) равна -1/√(1 - x^2), а производная внутренней функции x/2 равна 1/2.

Таким образом, производная функции arccos(x/2) равна:

d/dx (arccos(x/2)) = -1/√(1 - (x/2)^2) * 1/2 = -1/(2 * √(1 - x^2/4))

Вычисление производной √(4 - x^2):

Для вычисления производной квадратного корня, мы также можем использовать цепное правило дифференцирования. Производная квадратного корня √f(x) равна (1/2) * f'(x)/√f(x).

В данном случае, f(x) = 4 - x^2.

Производная функции f(x) равна -2x.

Таким образом, производная функции √(4 - x^2) равна:

d/dx (√(4 - x^2)) = (1/2) * (-2x)/√(4 - x^2) = -x/√(4 - x^2)

Вычисление производной y:

Теперь, когда мы вычислили производные отдельных частей функции, мы можем вычислить производную y, используя правило суммы производных.

y = x + arccos(x/2) - √(4 - x^2)

d/dx (y) = d/dx (x) + d/dx (arccos(x/2)) - d/dx (√(4 - x^2))

Подставим значения производных, которые мы вычислили ранее:

d/dx (y) = 1 + (-1/(2 * √(1 - x^2/4))) - (-x/√(4 - x^2))

Упростим выражение:

d/dx (y) = 1 + x/(2 * √(1 - x^2/4)) + x/√(4 - x^2)

Это и есть итоговая производная функции y.