Question

Ребят , помогите , пожалуйста Lim x-> в бесконечность (1-5/x)^x

Answer 1

$\lim\limits _{x \to \infty} (1- \frac{5}{x} )^{x}= \lim\limits _{x \to \infty} (1+ \frac{-5}{x})^{ \frac{-x}{5} \cdot (-5)}= \lim\limits _{x \to \infty}\left (1+ \frac{-5}{x} )^{-\frac{x}{5}}\right )^{-5}=e^{-5}$

Answer 2

Для решения предела \( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^x \), можно воспользоваться формулой для числа \(e\), которая имеет следующий вид:

\[ e = \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]

Сравнивая данную формулу с вашим пределом, видно, что можно провести подстановку \(n = \frac{x}{5}\). Тогда:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^x = \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{\frac{x}{5}}\right)^{\frac{x}{5}} \]

Упростим это выражение. Заметим, что \(\frac{1}{\frac{x}{5}}\) равно \(\frac{5}{x}\), поэтому:

\[ = \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{5}} \]

Теперь, если \(n\) стремится к бесконечности, то \(\frac{x}{5}\) также будет стремиться к бесконечности. Мы видим, что получившееся выражение совпадает с формулой для числа \(e\). Таким образом:

\[ = e \]

Таким образом, \(\lim_{{x \to \infty}} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^x = e\).