Question

Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение 3x+4y=30

Answer 1

Задание № 3:

Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение: 3x+4y=30?

чтобы было побыстрее заметим, что 4у должно делиться на 3

у=0: 3х=30; х=10 - ПОДХОДИТ

у=3: 3х+12=30; 3х=18; х=6 - ПОДХОДИТ

у=6: 3х+24=30; 3х=6; х=2 - ПОДХОДИТ

у=9: 3х+36=30; 3х=-6; х=-2 - НЕ ПОДХОДИТ (-2 не целое неотрицательное)

дальнейшие решения для х будет еще меньше

всего три решения

ответ: 3

Answer 2

Данное уравнение \(3x + 4y = 30\) представляет собой линейное диофантово уравнение, где \(x\) и \(y\) — целые неотрицательные числа.

Для решения этого уравнения можно использовать метод перебора или алгоритм.

1. Метод перебора: Подставим различные значения \(x\) и найдем соответствующие им значения \(y\), удовлетворяющие уравнению.

Переберем значения \(x\) от 0 до максимально возможного, при котором \(3x \leq 30\). \(3x + 4y = 30 \Rightarrow y = \frac{30 - 3x}{4}\)

Теперь проверим значения \(y\), которые будут целыми и неотрицательными при каждом значении \(x\).

| \(x\) | \(y\) | |------|------| | 0 | 7.5 (не целое) | | 1 | 6.75 (не целое) | | 2 | 6 | | 3 | 5.25 (не целое) | | 4 | 4.5 (не целое) | | 5 | 3.75 (не целое) | | 6 | 3 | | 7 | 2.25 (не целое) | | 8 | 1.5 (не целое) | | 9 | 0.75 (не целое) | | 10 | 0 |

Таким образом, имеется 3 целых неотрицательных решения: - \(x = 2, y = 6\) - \(x = 6, y = 3\) - \(x = 10, y = 0\)

2. Алгоритм: Для нахождения количества решений можно использовать теорему о диофантовых уравнениях.

Уравнение \(3x + 4y = 30\) можно переписать как \(y = \frac{30 - 3x}{4}\). Чтобы \(y\) было целым, \(30 - 3x\) должно быть кратно 4.

Решим уравнение \(30 - 3x \equiv 0 \pmod{4}\): \[30 - 3x \equiv 2 - 3x \equiv 0 \pmod{4}\] \[3x \equiv 2 \pmod{4}\]

Попробуем подставить различные значения \(x\) и найти соответствующие \(y\).

| \(x\) | \(30 - 3x\) | \(y\) | Решение | |------|------------|------|---------| | 0 | 30 | 7.5 | Не целое | | 1 | 27 | 6.75 | Не целое | | 2 | 24 | 6 | Целое | | 3 | 21 | 5.25 | Не целое | | 4 | 18 | 4.5 | Не целое | | 5 | 15 | 3.75 | Не целое | | 6 | 12 | 3 | Целое | | 7 | 9 | 2.25 | Не целое | | 8 | 6 | 1.5 | Не целое | | 9 | 3 | 0.75 | Не целое | | 10 | 0 | 0 | Целое |

Таким образом, мы получаем те же три целых неотрицательных решения: - \(x = 2, y = 6\) - \(x = 6, y = 3\) - \(x = 10, y = 0\)

Итак, уравнение \(3x + 4y = 30\) имеет три целых неотрицательных решения для переменных \(x\) и \(y\).