Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями:у=4х-х в квадрате -4,и осями координат

Answer 1

У=4х-x²- 4 парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (2;0), так как
4х-x²- 4=-(х-2)²

Фигура, площадь которой надо найти- криволинейный треугольник, расположенный  в четвертой четверти и ограниченный осями координат и левой ветвью параболы у=-(х-2)²
Её площадь численно равна площади криволинейного треугольника расположенного в первой четверти и ограниченного осями координат и параболой у=(х-2)².
Площадь такой фигуры находят с помощью определенного интеграла

$S= \int\limits^2_0 {(x-2) ^{2} } \, dx= \int\limits^2_0 {(x-2) ^{2} } \, d(x-2)= (\frac{(x-2) ^{3} }{3})^2_0=0-(- \frac{8}{3})=2 \frac{2}{3}$
кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = 4х - х² - 4 и осями координат, необходимо найти точки пересечения этой функции с осями координат.

Сначала найдем точки пересечения с осью OX, то есть значения х, при которых у = 0: 0 = 4х - х² - 4 Перенесем все члены уравнения влево: х² - 4х + 4 = 0 Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0 Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: х = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2

Теперь найдем точки пересечения с осью OY, то есть значения у, при которых х = 0: у = 4 * 0 - 0² - 4 = -4

Таким образом, фигура ограничена линиями у = 4х - х² - 4, осью OX и осью OY.

Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно вычислить интеграл от функции у = 4х - х² - 4 на интервале от х = 0 до х = 2. Интеграл от функции дает площадь под кривой.

S = ∫(0 to 2) (4х - х² - 4) dx

Вычислим этот интеграл: S = [2х²/2 - х³/3 - 4х] (0 to 2) S = [(2 * 2²/2 - 2³/3 - 4 * 2) - (2 * 0²/2 - 0³/3 - 4 * 0)] S = [4 - 8/3 - 8 - 0] S = 4 - 8/3 - 8 S = -16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4х - х² - 4, осью OX и осью OY, равна -16/3 или приближенно -5.33 квадратных единиц.